一堂微专题复习中的稚化思维

周云

摘 要：以提高学生水平为宗旨的上海高考数学试题，强调通性通法，重在学生的理解能力。高三数学第二轮复习承前启后，重在知识、方法和专题的复习，是学生的知识系统化、条理化并且能灵活运用的关键时期.“含参问题、分段函数、超越方程”，这类问题抽象性比较强，理解起来比较难.在高三备考过程中，学生对其理解和掌握，确实有一定困难，容易造成漏解和错解.鉴于此，结合学生的认知，通过“阶梯递进”的方式、利用稚化思维，和学生共同研究，旨在提高学生的数学综合能力.

关键词：上海高考；含参；稚化思维

数形结合、分类讨论、等价转化和函数与方程等知识，作为第二轮专题复习的重要解题思想方法，在实际应用中非常广泛，但是很多学生缺乏這样的思维习惯，不擅长将代数的文字语言转化为几何语言，特别是等价转化，容易在分析题目时产生较大的障碍.为此，笔者在课堂中，以微专题的形式，尽快地在学生头脑中建立数形结合、等价转化等思维习惯，并强化这种能力.这些经实践证明，显然有利于他们更有效地掌握数学知识.为落实重点，克服难点，笔者结合学生的知识，多次运用稚化教育思维，搭桥、设梯来化解难点，突出重点，取得了良好的教学效果.

一、稚化思维研究方程的解

引例 方程2sinx+ =1在区间[0，2π]上的所有解的和等于 .

生1：先求出这个方程的通解x|x+ =2kπ+ ，2kπ+ ，k∈Z，

再根据范围确定特解，所有的解为 ， ，它们的和是 .

生2：画出函数y=2sinx+ ，x∈[0，2π]与y=1图象，发现交点有且只有两个，由图象的对称可知，方程2sinx+ 的解有两个，记为x1，x2，它们的和等于 .

师：很好，求三角方程在给定区间上所有解的和，可以直接求解，也可以从数形结合的角度思考.那么含参数的三角方程问题，又如何求解呢？

设计意图：利用学生熟悉的简单三角方程，尽量放低教学的起点，从学生的“最近发展区”出发，让学生体会直接求解和数形结合的异曲同工，引导学生合理选择恰当的解题方法.

例1 （上海高考2012 理12）设常数a使方程sinx+ cosx=a在闭区间[0，2π]恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3= .

生3：类似地，方程2sinx+ =a的通解

x|x+ =2kπ+arcsina，2kπ+π-arcsina，k∈Z，在[0，2π]上的特解分别是x1，x2，x3.

师：可是通解含了参数，怎么办？

生4：可以考查函数a=2sinx+ 的周期性T=2π，而区间[0，2π]的长度恰好等于一个周期，所以方程sinx+ cosx=a在闭区间[0，2π]恰有三个解时，x1=0，x3=2π，此时a= ，再代入方程，求出x2= ，所以x1+x2+x3= .

师：很好，本题涉及含参的反三角方程，直接做有些困难，利用周期性，很快得到问题的求解.对于讨论这类含参的方程的解的个数，是否还有其他解法呢？

生5：数形结合，a=2sinx+ 在闭区间[0，2π]恰有三个解时，a= ，同上.

设计意图：从学生解决问题的实际出发，和他们共同探讨为什么进行不下去的原因所在，思考如何继续进行下去的方法，这样及时点出学生的所思所想，达到良好的教学互动.事实上，含参数的反三角方程，是学生学习过程中一个很大的障碍，合理的等价转化，用数形结合来解决，便可以避免盲目的分类讨论，更形象直观.一题多解，让学生在比较、讨论和甄别中，找出最简便的解法和富有新意的解题思路，有利于加深学生对多种解题方法的认识，从而更熟练地运用自如.

例2 已知方程x=lnx-5=0，x+ex-5=0的实根分别是x1，x2，则x1+x2= .

师：lnx=5-x，ex=5-x，直接解方程的话，貌似不会解？

生6：lnx=5-x1？圳x1=e5-x1，对照方程组ex2=5-x2e5-x1=x1，猜测5-x2=x1，所以x1+x2=5.

师：很大胆的猜测，大家觉得答案对吗？（同学们纷纷点头同意）怎么证明呢？

生7：函数f（x）=ex+x-5单调递增，f（1）·f（2）<0，f（x）=ex+x-5只有一个零点，所以5-x2=x1.

师：理由非常充分，很完美的解答.既然是从函数的角度思考，那么是否有其他想法？

生8：数形结合，y=lnx，y=ex互为反函数，它们的图象y=x于对称，而y=5-x也关于y=x成轴对称图形，由图象可知，交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），它们关于点P ， 对称，所以x1+x2=5.

师：想法很好，超越方程一般没有解析解，而只有近似解，只有特殊的超越方程才可以求解.在大学阶段常用的近似解法有牛顿切线法、幂级数解法等等，也可以编制一段程序用计算机求解.但上海的高考中，更多的是化归思想，利用数形结合求解.

注：超越方程——等号两边至少有一个含有未知数的初等超越函数式的方程，如指数方程、对数方程、三角方程、反三角方

程等.

设计意图：从不熟悉的方程联想到熟悉的函数图象，让学生自然而然地找到解题的思路，图形的细致观察和对称轴的巧妙应用是“点睛之笔”.这样接地气的稚化思维，从学生的角度思考问题，和学生一起学习、探究，共同进步.

二、稚化思维研究分段函数的性质

例3 函数f（x）=x2+4x x≥04x-x2 x<0，则不等式f（2-x2）>f（x）的解集是 .

生9：分类讨论即可.

当2-x2≥0且x≥0时，（2-x2）2+4（2-x2）>x2+4x，所以x∈

[0，1）；

当2-x2≥0且x<0时，（2-x2）2+4（2-x2）>4x-x2，所以x∈

（-2，0）；

当2-x2≤0且x≥0时，4（2-x2）-（2-x2）2>x2+4x，所以x∈？准；

当2-x2≤0且x≤0时，4（2-x2）-（2-x2）2>4x-x2，所以x∈？准；

综上所述，不等式的解集是x∈（-2，1）.

师：同学们很辛苦地完成了以上解答，但是作为一个填空题，会不会太费时费力了？（学生点头同意）大家好好观察一下f（x）的解析式，是我们熟悉的分段函数，而f（2-x2）>f（x）需要函数的什么性质来支撑呢？

生10：单调性.

师：你的眼光很犀利，明察秋毫，那请同学们思考、交流一下.

生11：f（x）=x2+4x x≥04x-x2 x<0在定义域R上是增函数，由f（2-x2）>f（x）可得2-x2>x，所以所求的解集是x∈（-2，1）.

设计意图：在老师看来，利用分段函数的单调性，三言两语就可以搞定了，但学生在实际做题过程中，直接利用分类讨论，虽然很繁琐，但是入手简单直接.和学生一起走走“歪路”，“装傻地”陪他们一起经历复杂的计算过程，师生感同身受，然后再来观察对比发现，用数形结合研究含参的分段函数问题实在是妙不可言，从而达到化难为易、化繁为简的目的.

变式 已知函数f（x）=xx.当x∈[a，a+1]时，不等式f（x+2a）>4f（x）恒成立，则实数a的取值范围是 .

生12：f（x）=xx=x2，x≥0-x2，x<0是奇函数，且在定义域R上是增函数.

师：4f（x）能不能转化某一个函数值呢？

生13：4f（x）=f（2x）.

师：谢谢你的精彩发现，至此答案“呼之欲出”了.

生14：f（x+2a）>4f（x）等价于f（x+2a）>f（2x），即x+2a>2x，2a>（x）max=a+1，所以实数a的取值范围是a>1.

设计意图：用变题的形式稚化思维，“例3”作了很好的铺垫，让学生自然而然地找到解题的“钥匙”，一遇见分段函数、含参不等式，就会充满熟悉感，联想到数形结合，勇敢地拾阶而上，从而把未知的问题等价转化为已掌握的知识来解答，达到多题一解的效果.言外之意，就是用一种方法可以搞定一类题目，举一反三，破除“题海战术”的怪圈.

三、稚化思维研究含参的不等式

例4 已知：当x>0时，不等式 ≥kx+b恒成立，当且仅当x= 时取等号，则k= .

师：“当且仅当x= 时取等号”，怎么理解？

生15：x= 代入不等式时等号成立，即 = k+b.

师：大家同意吗？（同学们一致同意）很好，这是我们最困惑的地方，正确理解是王道.那么，不等式 ≥kx+b恒成立呢？

生16：分离参变量就好，（3x-1）k≤ .

师：请同学们自己动手完成.

生17：当x> 时，k≤- 恒成立，易得k≤- ，当x> 时，k≤- 恒成立，易k≥- 得，综上所述，可知k=- .

u

设计意图：以阶梯式问题為引导，从代数的角度和学生一起进行局部探究，先由“当且仅当”可以得到k、b的方程，求出b；再和学生一起挖掘“不等式恒成立”，利用等价转化和分离参变量，对x讨论，结合函数的单调性和恒成立思想，即可求得.这样降低学生的思考起点，侧重于启发、引导，和学生一步一步搭建阶梯，解决含两个变量的问题.

师：如果从函数的角度来看，y= 与y=kx+b的图象是我们非常熟悉的，大家是不是可以画图试试看？

生18：由题意可知，当x= 时，两条图象相切，所以kx2+（k+b）x+b-1=0，即 = k+bΔ=（k+b）2-4k（b-1）=0？圯k=

设计意图：以启发为引导，从几何的角度和学生一起进行局部探究，先从学生熟悉的反比例型函数和一次函数出发，通过观察，应用数形结合求值、取舍、定范围，借助图形的直观性，实施转化，将复杂问题简单化，从而快速求解.

以上几例，涉及含参问题、分段函数、超越方程，是高中公认的难点所在，通法直接去解答的话，难度较大，正难则反，让学生体会用化归思想用数形结合来做，往往有意想不到的收获，最后来完成2017春考题.

四、稚化思维研究规划问题

（2017年上海春考）设a，b∈R，若函数f（x）=x+ +b在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为 .

【分析】函数f（x）=x+ +b在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a=0在区间（1，2）上有两个不相等的实根，g（x）=x2+bx+a ∴Δ>01<- <2g（1）>0g（2）>0？圯b2>4a-40a+2b+4>0

画出有序实数对（a，b）所表示的区域，求出目标函数z=f（1）=a+b+1的范围即可.

∴目标函数过点（1，-2）时，z的最小值为0；目标函数过点（4，-4）时，z的最大值为1.

∴z=f（1）的取值范围是（0，1）.

设计意图：本题考查函数的零点，涉及两个参数问题，约束条件非线性的规划问题，属于难题.在考场上，很多学生会比较茫然，无从下手.由于2017上海高考数学首次不分文理，而线性规划作为上海教材的必修内容，线性规划在高中只是要求学生会简单地分析数学问题和解决问题，旨在为学生进入大学以后更深入地学习埋下伏笔.本题对学生来说是一次不小的挑战，而此题用数形结合思想来解答是较好的解法.

教学反思：作为一名高中数学教师，我觉得不仅仅要敢于稚化自己，同时也要注意分寸，把握好时机，尽量课前做足功课，选取关键性的问题化繁为简.毕竟稚化的过程，势必会增加学生的思考时间，教师应事先做到心中有数，才能提高课堂效率，答疑

解惑.

参考文献：

[1]宗新中.退一步海阔天空：稚化思维在高中数学课堂上的应用[J].中学数学，2016（21）.

[2]王安寓.浅谈稚化思维在讲评课中的应用[J].高中数学教与学，2017（2）.

[3]刘鹏.稚化思维，让概念课教学充满活力[J].高中数学教与学，2017（2）.

[4]张建良，王名扬，钱军先.稚化思维：内函理解与实践探索[J].中学数学月刊，2015（11）.

[5]石三军.稚化思维：大智若愚的教学思考[J].中学课程辅导（教师通讯），2014（11）.

编辑 温雪莲