脆性材料复合型裂纹断裂准则

杨 军, 李 强

(四川省地质工程勘察院， 四川成都 610072)

为了研究裂纹的起裂和扩展,许多学者从应力、应变能密度、能量等多种角度分析建立了相应的断裂准则。Erdogan 和 Sih[1]首次提出了适用于复合型裂纹的最大周向应力准则(即MTS准则),该准则假定裂纹沿最大周向应力σmax扩展。Sih[2]提出最小应变能密度准则(SED 准则)，该准则的基本假定为：当材料的应变能密度S达到临界应变能密度Scr裂纹开始扩展。Theocaris 和 Andrianopoulos[3]基于von Mises屈服准则，认为裂纹沿着最大弹性应变能密度方向开裂，提出T准则，该准则对于金属材料非常适用。Ukadgaonkera和 Awasare[4]提出修正的T准则，即通过应力张量第一不变量(I1)和应力偏量第二不变量(J2)预测裂纹开裂。Yehia 等[5]提出最大体积应变能密度准则，即 NT 准则，此外，Yehia[6]讨论了在塑性核心区的基础上定义断裂准则的可行性，并且克服了修正的T 准则的一致性问题，提出了Y 准则。Khan 和 Khraisheh[7]提出了修订的MTS 准则，该准则适用于延展性材料。基于von Mises屈服条件推导出裂纹尖端塑性区可变半径，Khan 和 Khraisheh[8]导出了裂纹尖端塑性区半径，并提出了R准则，指出裂纹将会沿着从裂纹尖端到弹塑性边界的最短路径扩展，因为裂纹沿着该路径扩展所需要的能量最小。

可以看出没有任何一个准则可以与大部分材料的实验结果相吻合。造成此现象的其中一个原因是，这些经典准则的建立并不是根据材料的实际性能或者实验的加载条件。因此，基于对材料和试件结构影响理论预测的考量，我们建立一个改进的SED新准则，与文献中提供的混凝土断裂实验数据进行对比验证，发现它比传统的SED断裂准则能更好的预测脆性材料的断裂行为。此改进的方法还适用于其他传统准则，但是由于篇幅限制，我们在本文中只修正SED准则。

1 建立新的断裂准则

1.1 SED准则

SED准则是将最小应变能密度S作为判断材料破坏或断裂的参数，根据Sih[2]， 可以通过下式计算得到

S=a11KI2+2a12KIKII+a22KII2

(1)

式中：KI和KII分别是I型和II型应力强度因子，aij是与极坐标θ有关的函数，定义如下

(2)

在式(2)中，μ是剪切模量，对于平面应力问题κ=(3-ν)/(1+ν)，平面应变问题κ=3-4ν。

SED准则假设当S达到最小值时，裂纹开始扩展，可以通过下式表示

(3)

(4)

θ0是裂纹初始角，对于特定的混合度，通过式(3)我们可得到对应的裂纹初始角。对于纯I型裂纹，θ0=0，将之代入式(1)，即可获得式(4)。对于纯II型，KI=0，θ0= arccos[(κ-1)/6]。通过比较实验结果与上文提到的经典准则， 代入式(1)，可以得到

(5)

使式(4)和式(5)相等，在平面应力问题中取ν=1/3，KIIC和KIC的比值

KIIc/KIc=1.0215

(6)

可以看出，对于泊松比是常数的情况下，由SED准则计算得到的I型断裂韧度和II型断裂韧度比值也是常数，也就是说对于某种确定的材料，它的II型断裂韧度是确定的。然而，事实上尽管作为常数的I型断裂韧度是材料参数，但是II型断裂韧度却不能作为材料参数，它会随着不同的几何形状以及加载条件变化，因此，传统的SED准则需要通过修正以更精确的预测材料的破坏和断裂。

1.2 MSED准则

在传统SED准则中，临界值是根据I型裂纹的断裂计算得到，只含有KIc(式(4)), 这时只能精确预测纯I型裂纹或者I型主导裂纹，会低估或高估混合型或者纯II型断裂。相反的，如果临界值里只包含纯II型，也只是能较好的预测II型裂纹。因此，为了更好的预测裂纹扩展，将I型断裂韧度KIc和II型断裂韧度KIIc同时引进到准则中，构造一个新的临界值，以提高断裂准则的精确度。

定义Scr为

Scr=φSI+ψSII

(7)

式中：φ和ψ是定义的混合度参数

(8)

(9)

由式(8)、式(9)可以看出φ+ψ= 1, 并且对于纯I型裂纹，即φ=1,ψ= 0，Scr=SI(或者KI=KIc)；对于纯II型裂纹，即φ= 0,ψ= 1，Scr=SII(或者KII=KIIc)。在式(7)中，KIc和KIIc同时包含在临界值Scr中，因此改进的新准则可以更加准确地预测混合型裂纹。

将式(8)、式(9)代入到式(7)

(10)

因此，改进的SED准则—MSED准则，定义为

(11)

(12)

2 混凝土半圆盘实验

Ameri等[9]通过含裂纹的半圆盘试件(Semi-circular bend specimen (SCB))测量了沥青混凝土的混合型断裂韧度。半圆盘试件有三种不同的加载方式(图1)，图1(a)是传统的斜裂纹对称三点弯曲，根据数值模拟结果，不同的裂纹倾斜角对应不同的I-II型混合度；图1(b)为偏置裂纹非对称加载，该模型只能获得纯II型和I-II混合型的断裂韧度；图1(c)为中心直裂纹受非对称荷载作用的半圆盘三点弯曲，调整支撑距离可得到不同的断裂混合度。制作的SCB试件直径15 cm, 厚3 cm，预制裂纹长2 cm。最大骨粒尺度为12.5 mm，孔隙率4 %。该组实验在大约-10 ℃的温度下进行，加载速率为3 mm/min。

改进修正的半圆盘三点弯曲实验结果(SCB-2，图1(c))与经典MTS准则和MSED准则进行比较(图2)。沥青混凝土的泊松比在低温下一般低于0.2，因此在计算分析过程中，泊松比取为0.17。

(a) 经典SCB试件

(b) 修正的SCB-1试件

(c) 修正的SCB-2试件图1 三种半圆盘加载方式[9]

3 结果与讨论

沥青混凝土混合型半圆盘三点弯曲实验(修正的SCB-2试件)测得的纯I型断裂韧度和纯II型断裂韧度分别为KIc=0.8575MPa·m1/2和KIIc=0.9844MPa·m1/2。修正的MSED准则与其他传统的经典准则相比，它需要实验的II型断裂韧度值，因此一些常见的不能测量纯II型的实验，例如单向拉伸和矩形梁三点弯曲，无法用MSED准则预测和验证。然而，目前国际岩石力学学会对于混合型断裂提出的标准测量方法，如巴西圆盘，是适用于纯I型到纯II型任意混合度的构件，除此之外，矩形梁四点弯曲、对角拉伸方形板、以及本文引用的半圆盘三点弯曲都是典型的可测量全混合度的实验方案。MSED准则的计算过程如下：

将式(1)、 式(8)、 式(9)代入式(12)，得到：

图2 MSED及MTS准则与半圆盘实验结果对比

(13)

式(13)右边的分子分母同除以KIIKIc，并且设KIIc/KIc=m，根据文献[9]的实验结果，可知I型和II型断裂韧度比值为m=1.148，因此我们可以得到

(14)

式(14)左右两边分别同除以KI2和KII2，

(15)

(16)

对于特定的I/II型混合度，根据式(11)可以计算得到对应的起裂角θ0，然后代入到式(2)中，再结合式(15)、式(16)，就可绘制出KI/KIc与KII/KIc的包络图(图2)。

由图2可以看出来，由于骨粒随机分布，实验结果的离散型较大，但是MSED仍然与结果非常吻合，而MTS准则明显低于实验结果的平均值。值得注意的是，MTS与泊松比无关，而MSED准则无论是平面应力状态还是平面应变状态均与泊松比有关。此处选取沥青混凝土的泊松比0.17。

4 结论

通过讨论可以得到以下结论：

(1)基于传统的SED准则，推导出了MSED准则，能更精确的预测实验结果。

(2)MSED准则不仅与I型断裂韧度KIc有关，而且与II型断裂韧度KIIc有关，因此采用该准则须提供KIIc的测量值，半圆盘三点弯曲试件是应用广泛的可测量任意混合度的构件，将MSED准则与文献的沥青混凝土结果进行对比发现，理论与实验结果吻合度非常好。

(3)MSED准则与传统的准则不同，它是依靠实验实际的加载条件及构建形状进行调整的，而其他准则只会因选取的泊松比不同略有改变，如SED准则；或者预测结果不会有任何变化，例如MTS准则。