2-距离空间中(ψ，φ，θ)-压缩映象的公共不动点定理

刘丽亚，谷　峰

(杭州师范大学理学院，浙江 杭州 310036)

1　预备知识

1963年，Gälhler[1]首次引入了2-距离空间的概念，并较为深入地讨论了这一空间的拓扑性质.1976年，Iséki等[2]开始研究关于2-距离空间中映象的不动点问题.随后，2-距离空间中的不动点理论得到了较大发展.[3-9]受上述文献启发，本文在完备的2-距离空间中，引入一类新的(ψ,φ,θ)-型压缩条件，并在此条件下研究重合点和公共不动点的存在性和唯一性问题，得到了一个新的公共不动点定理，在很大程度上推广了相关文献的一些结果.

定义1[9]设X是非空集，d：X×X×X→[0，+∞)，满足：

(1) 对每一对点a，b∈X，a≠b，存在一点c∈X，使得d(a,b,c)≠0；

(2)d(a,b,c)=0，当且仅当a,b,c中至少有二元相等；

(3)d(a,b,c)=d(a,c,b)=d(b,c,a)=d(b,a,c)=d(c,a,b)=d(c,b,a)；

(4)d(a,b,c)≤d(a,b,x)+d(a,x,c)+d(x,b,c)，其中x∈X.

则称(X,d)为2-距离空间.

定义2[9](1) 序列{xn}称为2-距离空间(X,d)中的收敛序列，如果存在x∈X，使得

(2) 设{xn}是2-距离空间(X,d)中的序列.{xn}称为X中的Cauchy列，如果

(3) 2-距离空间(X,d)称为完备的，如果X中的每一Cauchy列都是X中的收敛列.

定义3[9]设{xn}是2-距离空间.d称为是X上的连续2-距离，如果它关于三个变量中的两个序列连续.

定义4[10]设(X，⪯)为2-距离空间(X，d)的一个偏序集，F：X→X，ɡ：X→X为两个映象.则：

(1) 称F是ɡ-不减的，如果∀x1，x2∈X，ɡx1⪯ɡx2⟹Fx1⪯Fx2；

(2) 称F是ɡ-不增的，如果∀x1，x2∈X，ɡx1⪯ɡx2⟹Fx1Fx2.

定义5[11]称x∈X是映象对F：X→X和ɡ：X→X的重合点，如果Fx=ɡx.

定义6[11]称x∈X是映象对F：X→X和ɡ：X→X的公共不动点，如果Fx=ɡx=x.

定义7[11]设X为非空集，x∈X.映象对F：X→X和ɡ：X→X称为在x处是可交换的，若ɡFx=Fɡx.

引理1[1]设(X,d)是完备的2-距离空间，{yn}是X中的序列，满足

若{yn}不是X中的Cauchy列，则必存在某a0∈X，ε0>0以及正整数列{mi}，{ni}，使得：

(ⅰ)mi>ni+1，ni→∞(i→∞)；

(ⅱ)d(ymi，yni，a0)≥ε0，d(ymi-1，yni，a0)<ε0，i=1，2，3，….

2　主要结果

本文假设ψ，φ和θ为以下三种类型的函数[12]：

(Ⅰ) 函数ψ：[0，∞)→[0，∞)满足：(1)ψ是非减的且关于每个变元是连续的；(2)ψ(t)=0，当且仅当t=0.

(Ⅱ) 函数φ：[0，∞)→[0，∞)满足：(1)φ是下半连续的；(2)φ(t)=0，当且仅当t=0.

(Ⅲ) 函数θ：[0，∞)→[0，∞)满足：(1)θ是连续的；(2)θ(t)=0，当且仅当t=0.

定理1设(X，⪯)是2-距离空间(X，d)上的偏序集.ɡ：X→X为X上的自映象，映象F：X→X是ɡ-不减的，且与ɡ在重合点处可交换.∃x0∈X使得ɡx0⪯Fx0.对于∀x，y，a∈X，满足

ψ(d(Fx,Fy,a))⪯ψ(M(x,y))-φ(M(x,y))+Lθ(N(x,y)).

(1)

其中：实数L≥0；

N(x,y)=min{d(ɡx,Fx,a),d(ɡy,Fy,a),d(ɡx,Fy,a),d(ɡy,Fx,a)}.

如果F(x)⊆ɡ(X)，且ɡ(X)是完备的，则ɡ和T在X中有公共不动点.

证明由已知条件，∃x0∈X满足ɡx0⪯Fx0.又由于F(x)⊆ɡ(X)，所以∃x1∈X，使得ɡx1=Fx0.同理可知，∃x2∈X使得ɡx2=Fx1.又由ɡx0⪯Fx0可知ɡx0⪯ɡx1.由于映象F是ɡ-不减的，所以

ɡx1=Fx0⪯Fx1=ɡx2.

依次类推，可得到X中的一个序列{xn}，ɡxn+1=Fxn，n=0，1，2，…，满足

ɡx0⪯ɡx1⪯ɡx2⪯…⪯ɡxn⪯ɡxn+1⪯….

(2)

在(1)式中令(x,y)=(xn,xn+1)，由(2)式可得

ψ(d(ɡxn+1ɡxn+2,a))=ψ(d(Fxn，Fxn+1,a))≤
ψ(M(xn,xn+1))-φ(M(xn,xn+1))+Lθ(N(xn,xn+1)).

(3)

其中

(4)

N(xn,xn+1=min{d(ɡxn,Fxn,a),d(ɡxn+1,Fxn+1,a),d(ɡxn,Fxn+1,a),d(ɡxn+1,Fxn,a)}=
min{d(ɡxn,ɡxn+1,a),d(ɡxn+1,ɡxn+2,a),d(ɡxn,ɡxn+2,a),d(ɡxn+1,ɡxn+1,a)}=0.

(5)

在(3)式中令a=ɡxn，那么(4)式可整理为

(6)

当a=ɡxn时，结合(5)和(6)式，(3)式可整理为

ψ(d(ɡxn+1ɡxn+2，ɡxn))=ψ(d(Fxn,Fxn+1,ɡxn))≤
ψ(d(ɡxn,ɡxn+2,ɡxn+1))-φ(d(ɡxn,ɡxn+2,ɡxn+1)).

当d(ɡxn,ɡxn+2,ɡxn+1)>0时，上式出现矛盾，即

d(ɡxn,ɡxn+2,ɡxn+1)=0,∀n=0，1，2，….

(7)

当d(ɡxn,ɡxn+1,a)0，否则将导致d(ɡxn，ɡxn+1,a)<0，矛盾.于是，根据(4)和(7)式，

M(xn,xn+1)=d(ɡxn+1,ɡxn+2,a).

再由(3)和(5)式，

ψ(d(ɡxn+1ɡxn+2,a))≤ψ(d(ɡxn+1,ɡxn+2,a))-φ(d(ɡxn+1,ɡxn+2,a)).

此时结果出现矛盾，故假设不成立，即

d(ɡxn,ɡxn+1,a)≥d(ɡxn+1,ɡxn+2,a),n=0，1，2，….

(8)

由(8)式可以看出，序列{d(ɡxn,ɡxn+1,a)}是单调递减的非负实数列，因此∃δ≥0，使得

(9)

根据(3)，(7)和(8)式，

ψ(d(ɡxn+1ɡxn+2,a))≤ψ(d(ɡxn,ɡxn+1,a))-φ(d(ɡxn,ɡxn+1,a)).

(10)

如果δ>0，在(10)式两边令n→∞，同时由ψ和φ的性质可得

ψ(δ)≤ψ(δ)-φ(δ)<ψ(δ).

矛盾.于是证得δ=0，即

(11)

接下来证明

(12)

若不然，由引理1知必存在某个a0∈X，某个ε0>0以及正整数列{mi}，{ni}，使得：

(ⅰ)mi>ni+1，ni→∞(i→∞)；

(ⅱ)d(ɡxni，ɡxmi，a0)≥ε0，d(ɡxni，ɡxmi-1，a0)<ε0，i=1，2，3，….

由三角形面积不等式和假设(Ⅱ)得

d(ɡxni,ɡxmi,a0)≤d(ɡxni,ɡxmi,ɡxni+1)+d(ɡxni,ɡxni+1,a0)+d(ɡxni+1,ɡxmi,a0).

在上式两边令i→∞，并由(11)式和假设(Ⅱ)得

即

(13)

再由不等式关系得

d(ɡxmi-1,ɡxni+1,a0)≤d(ɡxmi-1,ɡxni+1,ɡxni)+
d(ɡxmi-1,ɡxni,a0)+d(ɡxni,ɡxni+1,a0),

d(ɡxni,ɡxmi,a0)≤d(ɡxni,ɡxmi,ɡxmi-1)+
d(ɡxni,ɡxmi-1,a0)+d(ɡxmi-1,ɡxmi,a0).

在上面两个式子中分别令i→∞，并由(11)式和假设(Ⅱ)得

进一步整理得

(14)

(15)

由(1)式，

ψ(d(ɡxni+1,ɡxmi,a0))=ψ(d(Fxni,Fxmi-1,a0))≤
ψ(M(xni,xmi-1))-φ(M(xni,xmi-1))+Lθ(N(xni,xmi-1)).

其中

N(xni,xmi-1)=
min{d(ɡxni,Fxni,a0),d(ɡxmi-1,Fxmi-1,a0),d(ɡxni,Fxmi-1,a0),d(ɡxmi-1,Fxni,a0)}=
min{d(ɡxni,ɡxni+1,a0),d(ɡxmi-1,ɡxmi-1,a0),d(ɡxni,ɡxmi,a0),d(ɡxmi-1,ɡxni+1,a0)}.

将上式两边令i→∞，并由(11)，(13)—(15)式和假设(Ⅱ)得

即

ψ(ε0)≤ψ(ε0)-φ(ε0)<ψ(ε0).

矛盾，从而(12)式成立.

又因为ɡ(X)是完备的，于是∃x∈X，满足

(16)

再由(1)式，

ψ(d(Fx,ɡxn+1,a))=ψ(d(Fx,Fxn,a))≤ψ(M(x,xn))-φ(M(x,xn))+Lθ(N(x,xn)).

其中

N(x,xn)=min{d(ɡx,Fx,a),d(ɡxn,Fxn,a),d(ɡx,Fxn,a),d(ɡxn,Fx,a)}=
min{d(ɡx,Fx,a),d(ɡxn,ɡxn+1,a),d(ɡx,ɡxn+1,a),d(ɡxn,Fx,a)}.

将上式两边令n→∞，并由(11)式和注1得

由ψ和φ的性质可得d(Fx,ɡx,a)=0，进而ɡx=Fx.由此可知x是ɡ和F的重合点.

现证ɡ和F的重合点唯一.

事实上，假设∃x*∈X，x*≠x，使得ɡx*=Fx*.由(1)式可得

ψ(d(ɡx,ɡx*,a))=ψ(d(Fx,Fx*,a))≤ψ(M(x,x*))-φ(M(x,x*))+Lθ(N(x,x*)).

(17)

其中

(18)

N(x,x*)=min{d(ɡx,Fx,a),d(ɡx*,Fx*,a),d(ɡx,Fx*,a),d(ɡx*,Fx,a)}=
min{d(ɡx,ɡx,a),d(ɡx*,ɡx*,a),d(ɡx,ɡx*,a),d(ɡx*,ɡx,a)}=0.

(19)

将(18)和(19)式代入(17)式可得

ψ(d(ɡx,ɡx*,a))≤ψ(d(ɡx,ɡx*,a))-φ(d(ɡx,ɡx*,a)).

由ψ和φ的性质可知d(ɡx,ɡx*,a)=0，从而ɡx=ɡx*.即证得ɡ和F的重合点唯一.

令μ=ɡx=Fx，则Fμ=F(ɡx)=ɡ(Fx)=ɡμ.从而μ也为ɡ和F的重合点，由ɡ和F的重合点的唯一性，可得ɡμ=Fμ=ɡx=Fx=μ，即ɡμ=Fμ=μ.从而可得μ是ɡ和F的公共不动点，证毕.

推论1设(X，⪯)是完备2-距离空间(X，d)上的偏序集且X是完备的.映象F：X→X，实数L≥0，且∀x，y,a∈X，满足

ψ(d(Fx,Fy,a))≤ψ(M(x,y))-φ(M(x,y))+Lθ(N(x,y))，

其中

N(x,y)=min{d(x,Fx,a),d(y,Fy,a),d(x,Fy,a),d(y,Fx,a)}.

则F在X中有不动点.

证明令定理1中的自映象ɡ为恒等映象I，即可证得结论.

推论2设(X,⪯)是2-距离空间(X,d)上的偏序集.ɡ：X→X为X上的自映象，映象F：X→X是ɡ-不减的，且与ɡ在重合点处可交换.∃x0∈X使得ɡx0⪯Fx0，对于∀x,y,a∈X，满足

如果F(x)⊆ɡ(X)，且ɡ(X)是完备的，则ɡ和F在X中有公共不动点.

3　在积分方程中的应用

令X=C[I]为所有I=[0，1]上的连续函数全体，受文献[1]的启发，考虑积分方程在X中是否存在解

(20)

这里函数T：I×X→R.首先，定义偏序关系：

x⪯y⟺x(t)≤y(t)，∀t∈I.

假设：

(ⅰ)h：I→R，k：I×I→R，t∈I为连续函数；

(ⅲ) 对于∀x,y,a∈X，如果x⪯y，那么有

令d：X×X×X→[0，+∞)，

容易看出(X，⪯，d)是偏序2-距离空间.

x0⪯x1⪯x2⪯…⪯xn⪯xn+1⪯…，

且{xn}收敛于一点u∈X，即xn⪯u，∀n∈N，则方程(20)在X中有解.

证明定义函数F，ɡ：X→X分别为

ɡx=x(t),∀x∈X,t∈I.

由条件(ⅱ)得

ɡx(t)⪯ɡy(t)⟹Fx(t)⪯Fy(t),∀x,y∈X,t∈I.

由条件(ⅳ)，ɡx0⪯Fx0.又由条件(ⅲ)可知∀x,y,a∈X，且x⪯y，Fx⪯Fy.

进一步有

其中

N(x,y)=min{d(ɡx,Fx,a),d(ɡy,Fy,a),d(ɡx,Fy,a),d(ɡy,Fx,a)}.

综上，定理1中的所有条件都满足，于是∃x∈X，使得Fx(t)=x(t)，即方程(20)在X中有唯一解.

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