一类具阻尼项的偶阶中立型泛函微分方程的振动性

林 文 贤

(韩山师范学院数学与统计学院，广东 潮州 521041)

1　预备知识

考虑一类具有连续分布时滞和阻尼项的偶阶中立型泛函微分方程

(1)

其中n≥2为偶整数，方程(1)中的积分为Stieltjes积分.本文若无说明，总假设下列条件成立：

(H5)σ(ξ)∈C[a，b]，τ(η)∈C[c，d]是非减的.

对高阶中立型泛函微分方程[1]振动性质的研究引起众多学者的广泛关注.[2-8]通过引入参数函数H(t，s)和h(t，s)，本文得到方程(1)的若干新的振动准则，推广了文献[2-4]的相应结论.

2　主要结果

引理1[7]设y(t)∈Cn(I，R)为常号函数，在I上y(n)(t)≠0且满足y(n)(t)y(t)≤0.则：

(ⅰ) 存在t1≥t0使得y(i)(t)在[t1，∞)上常号，i=1，2，…，n-1.

y(i)(t)>0，t≥t1，i=0，1，2，…，； (-1)i+y(i)(t)>0，t≥t1，i=+1，…，n.

引理2[8]设y(t)满足引理1的条件，且y(n-1)(t)y(n)(t)≤0，t≥t1.则对θ∈(0，1)， 存在常数N>0 使得

|x′(θt)|≥Ntn-2|x(n-1)(t)|，t≥t1.

引理3设x(t)是方程(1)的最终正解，令

(2)

则存在t1≥t0使得

Z(t)>0，Z′(t)>0，Z(n-1)(t)>0，Z(n)(t)≤0，t≥t1.

(3)

证明因x(t)是方程(1)的最终正解，利用(H2)和(H4)知存在t1≥t0，当t≥t1时有x(t)>0，x[g(t，ξ)]>0和x[r(t，η)]>0成立.由(H1)，(H3)和(H5)，有Z(t)>0且

(4)

于是

易证Z(n-1)(t)>0，t≥t1.注意到

再由条件(H1)有Z(n)(t)≤0，t≥t1.从而由引理1容易得出Z′(t)>0，t≥t1.

记

D0={(t，s)|t>s≥t0}，D={(t，s)t≥s≥t0}.

定理1设存在函数H(t，s)∈C(D，R)，h(s，t)∈C(D0，R)，ρ(t)∈C′(I，R+)，满足：

(ⅰ)H(t，t)=0，t≥t0，H(t，s)>0，(t，s)∈D0;

(ⅱ)H(t，s)在D0上对第二个变量存在连续非正的偏导数且满足等式

(5)

则方程(1)振动.其中：

λ=1-p，

证明设方程(1)有最终正解x(t)，由引理3知存在ti≥t0使得

Z(t)>0，Z′(t)>0，Z(n-1)(t)>0，Z(n)(t)≤0，t≥t1.

注意到(H1)，(H3)和(2)式，

(6)

其中λ=1-p.利用(H2)，(H4)，(4)和(6)式，

[r(t)Z(n-1)(t)]′+m(t)Z(n-1)(t)≤-λQ(t)Z[g(t，a)]，t≥t2，

(7)

这里Q(t)由(H2)定义.

(8)

Z′(λg(t，a))≥Ngn-2Z(n-1)[g(t，a)]≥Ngn-2(t，a)Z(n-1)(t)，t≥t4.

(9)

由(7)和(9)式，

(10)

以H(t，s)乘以(10)式，从T到t(t>T≥t4)积分得

(11)

利用不等式x2+y2≥2xy有

(12)

(13)

推论1若定理1中的(5)式代之以

那么系统(1)振动.

当(5)式不成立时，可得以下结果：

定理2将定理1中的(5)式替换为

(14)

(15)

且存在函数φ∈C(I，R)使对任一t≥t0，T≥t0有

(16)

(17)

其中φ+(s)=max(φ(s)，0).则方程(1)振动.

证明类似定理1的证明，对一切t>T≥t4，有(13)式成立，即

(18)

由(17)和(18)式有

φ(T)≤W(T)，T≥t4，

(19)

(20)

故由(16)与(19)式，

(21)

为完成定理的证明，只需证明(21)式不能成立.定义

则由(11)和(20)式有

(22)

(23)

U(tk)-V(tk)≤C，k=1，2，….

(24)

(25)

(26)

(27)

另一方面，由Schwartz不等式，

(28)

[参考文献]

[1]HALE J K.Theory of functional differential equations[M].New York：Springer，1977：8-18.

[2]林文贤，俞元洪.高阶中立型时滞微分方程的振动准则[J].应用数学学报，2014，37(6)：1018-1024.

[3]WANG P G.，FU X L，YU Y H.Oscillation of solutions for a class of higher order neutral differential equations[J].Apple Math JCU，1998，13B：397-402.

[4]MENG F W，XU R.Kamenev-type oscillation criteria for even order neutral differential equations with deviating arguments[J].Apple Math Comput，2007，190：1402-1408.

[5]林文贤.一类具阻尼项和多滞量的广义Emden-Fowler中立型微分方程的振动性[J].东北师大学报(自然科学版)，2016，48(3)：25-29.

[6]LIN W X.Oscillation theorems for certain higher order neutral equations with continuous distributed deviating arguments[J].Southeast Asian Bulletin of Mathematics，2012，34(4)：849-854.

[7]AGARWAL R P，GRACE S R，REGAN D O.Oscillation theory for differential equations[M].Dordrecht：Kluwer Academic，2000：72-75.

[8]PHILOS C G.A new criterion for the oscillation and asymptotic behavior of delay differential equations[J].Bull Acad Pol Sci Ser Sci Mat，1981，39：61-64.