带有分段常数变量的Logistic模型的稳定性和Neimark-Sacker分支

豆中丽，王　瑞

(1.重庆工商大学融智学院，重庆 400055； 2.重庆大学数学科学学院，重庆 401331)

1　预备知识

在生态系统中，具有分段常数变量微分方程模型的稳定性、分支、混沌等动力学行为逐渐受到众多学者关注.文献[1]讨论了带有分段常数变量的单种群Logistic模型

(1)

其中t，r，K∈(0，+∞)，[t]表示参数t的整数部分.该文讨论了模型在正平衡点处的稳定性和分支行为，指出当参数r等于某特殊值时，该模型在正平衡点附近出现混沌现象.文献[2]讨论了一类具有功能反应函数与食饵数量成正比的模型，但捕食者总有吃饱的时候，这就意味着忽略了消化饱和因素，与实际情况不太相符.因此研究具有饱和因素的功能反应函数更加符合实际情况，而具有Holling-Ⅱ功能的反应函数

就有饱和关系.本文研究了捕食者Y(t)满足Logistic方程，且其数量按照Logistic方式增长的模型

(2)

其中：X为食饵种群密度；Y为捕食者种群密度；r为食饵内禀增长率；e∈(0，1)为气象环境对食饵种群密度的影响因子；K为环境容纳量，可解释为食饵所取作物状况；a为捕食者的捕食率；β∈[0，1)为食饵逃避率，即捕食种群能捕捉到食饵数量为(1-β)X(t)；c∈(0，1]为捕食者捕食食饵的转化率；d为捕食者的死亡率.根据生态学意义可知模型(2)的初始条件为X(0)=X0>0，Y(0)=Y0>0.

2　平衡点的存在性和稳定性

当n≤t≤n+1(n=0，1，2，…)时，系统(2)转化为

(3)

对(3)式两端从n到t积分，并令t→n+1，得

(4)

通过简单计算可得：对于任何参数，系统存在不动点E0(0，0)，E1(K，0)；当ac-d>0，K>K0时，系统(4)存在唯一正平衡点[3]

定理2.1系统(4)的平凡平衡点E0(0，0)是鞍点.

证明系统(4)的Jacobian矩阵为

当(x(n)，y(n))=(0，0)时，由文献[5]可知系统(4)对应线性系统的特征方程为(λ-er)(λ-de-d)=0，从而λ1=er，λ2=-de-d.因为r>0，故|λ1|>1，|λ2|<1，所以平凡平衡点E0(0，0)是鞍点.

定理2.2(1) 当0d，则平衡点E1(k，0)是鞍点.

(2) 当r>2，k(1-β)(ac-d)>d时，平衡点E1(k，0)是不稳定的.

(3) 当r≠1，3，k(ac-d)(1-β)=d时，模型在平衡点E1(k，0)处产生Flip分支

证明模型(4)在平衡点E1(k，0)的Jacobian矩阵为

(1) 当01+d，则|λ1|<1，|λ2|>1，从而E1(k，0)是鞍点.

(2) 当r>2，k(1-β)(ac-d-1)>1+d时，有|λ1|>1，|λ2|>1，所以E1(k，0)是不稳定的.

成立，则系统(3)在无病平衡点E1(k，0)处产生Flip分支.

(1) 若d(1+ac-d)K-(ac+(1+ac-d)d)K0<0，且

由于正平衡点的稳定性由特征方程的特征根决定，令p(λ)=λ2+μ1λ+μ2，可得

3　分支解的存在性和稳定性

以及特征根

设p，q分别是对应于特征值eiθ0，e-iθ0的特征向量，则

Aq=eiθ0q，ATp=e-iθ0p.

通过计算系统可表示为

其中：O(‖x‖4)是高阶无穷小量；B(x，y)和C(x，y，z)是多重线性函数，且在坐标下的分量为

于是：

具有N-S分支的系统出现的闭不变曲线方向，可以用下面公式计算：

4　数值模拟

情形Ⅲ取参数值d=0.01，c=0.1，β=0.1，a=0.4，K=10.根据定理计算可知当r>r0>0.712时，差分方程(4)对初值迭代解非常敏感，看不出稳定的平衡点，系统已经失稳，产生混沌现象，见图3—4.

图1　r

图2　0.67

图3　r>r0>0.712时N-S分支解的平面和相平面图

图4　混沌分岔图

[参考文献]

[1]马知恩.传染病动力学的数学建模与研究[M].北京：科学出版社，2004：1-26.

[2]LIU XIAO LI，XIAO DONG MEI.Complex dynamic behaviors of a discrete-time predator-prey system[J].Chaos Solitons and Fractals，2007，32(2)：80-94.

[3]LIU P，GOPALSAMY K.Global stability and chaos in a population model with piecewise constant arguments[J].Applied Mathematics and Computation，1999，101(1)：63-88.

[4]陈斯养，张艳.具有分段常数变量的捕食-被捕食模型的分支分析[J].兰州大学学报(自然科学版)，2012，48(3)：103-112.

[5]王烈，陈斯养.带有分段常数变量的Lorenz系统的稳定性和分支[J].应用数学，2014，27(4)：805-811.

[6]张锦炎.常微分方程几何理论与分支问题[M].北京：北京大学出版社，1987：69-95.

[7]KUZNETSOV YURI A.Elements of applied bifurcation theory[M].New York：Springer-Verlag，2004：106-139.