变分数阶非局部边值问题的再生核配置法

孙　雪，李秀英，唐玉洁

（常熟理工学院 数学与统计学院，江苏 常熟 215500）

1　引言

随着研究的问题越来越复杂，近年来提出的一些分数阶模型中，分数阶导数的阶不再是一个固定的常数，而是会随时间或空间变化而变化的一个函数，这就出现了变分数阶微分方程. 变分数阶微分方程可以更好地模拟蛋白质的松弛过程、人造橡胶的磁力流变性质、地下水的运动过程等很多现象，为实际应用中很多复杂问题的研究提供帮助. 变分数阶微分方程已经成功应用于物理、数据处理、信号处理等领域，应用前景十分广阔，因此，对变分数阶微分方程的研究是非常有意义的. 关于变分数阶非局部问题存在唯一性的研究已经有了一些成果[1－3]. 由于变分数阶微分方程含有变阶指数部分，相应的数值求解方法的研究更为复杂，相关的研究成果也相对较少，还有待进一步深入研究.

再生核希尔伯特空间及其相关理论不仅在信号分析、统计与优化、机器学习理论等方面具有重要的应用，也是函数逼近的理想空间框架，该空间的函数近似具有一致收敛性，而且，近似函数的Caputo型分数阶导数仍然具有一致收敛性. 因此，再生核希尔伯特空间也是Caputo型分数阶导数数值处理的理想空间框架. 近年来，在此空间框架下，充分利用再生核希尔伯特空间相关理论的优势，我们研究了微分方程边值问题的数值方法，取得了一定的研究成果[4－8]. 本文将在再生核希尔伯特空间框架下研究变分数阶非局部边值问题的再生核配置法.

2　数值方法

考虑下面的变分数阶非局部问题：

其中Dα(x)表示α阶Caputo型分数阶导数，是线性非局部边界条件算子，f(x)满足解的存在唯一性.

Caputo型分数阶导数Dα(x)u(x)定义为：

设{x1,x2,…,xN}是区间[0,1]上的点集，记ψi(x)=K(x,xi),i=1,2,…,N，其中K(x,y)是再生核空间W3[0,1]再生核函数，我们寻求如下形式的近似解：

其中ci，di是待定常数，

令（2）在内部点满足（1），边界满足定解条件，可得

注意到未知数ci，di的个数有N+M个，而（3）的方程个数为N，剩下的M个方程通过下面的限制获得

结合（3）和（4）便可求得未知系数ci，di.

为了分析近似解uN,M(x)的误差，我们定义余项函数为

定理1.1如果则存在一个正常数c，满足

证明注意到

因为ψi(x),pl(x)∈C4[0,1]，从而可得RN,M(x)∈C2[0,1].

根据文献[9]，可以得到

命题得证.

3　数值算例

考虑下面的变分数阶非局部问题

图1　近似解的绝对误差

参考文献：

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[9]LI X Y， WU B Y. Error estimation for the reproducing kernel method to solve linear boundary value problems[J]. J Comp Appl Math， 2013， 243： 10－15.