基于地质雷达法的非饱和黄土介电特性及界面反射机理研究

， ， ，

(西安理工大学 a.水利水电学院; b.省部共建西北旱区生态水利国家重点实验室,西安 710048)

1 研究背景

黄土填方施工过程中，经常出现填方层压实度不均匀、含水饱和度不均匀而引起的沉降不均匀，以及填方边坡经常出现的滑坡现象[1-2]。这些不良地质体极易给施工造成极大的困难，形成停工或者反复停工等处境，造成巨额经济损失，甚至危及施工人员的生命安全。地质雷达(ground penetrating radar，GPR)是一种基于电磁波方法的地球物理探测技术，较传统探测技术有突出的优势，如探测速度快、便于定位、探测精度高、操作灵活等，既能有效避免地质灾害造成的人员和财产损失，又能多快好省地完成正常施工任务。

国内外学者对地质雷达及土壤介电特性做了许多研究，如Tran等[3]利用地质雷达的图像剖面和水力参数联合估算探测区域含水分布；Thring等[4]以土壤材料中的重力水为研究对象，通过TDR单独分析重力水含量及介电参数变化趋势；Maruyama等[5]以相对介电常数入手研究结构水以及水的分形形态；Urban等[6]通过相对介电常数与含水量的关系调查区域内地层含水率；巨兆强[7]研究了中国最基本的几种土壤类型的介电特性，研究造成介电特性差异的土壤物理化学成分的差异，通过烘干的方法得出土壤中有机质的体积含量对土壤的介电特性影响至关重要；孙宇瑞[8]以综合方法测量非饱和土壤相对介电常数，借助介质物理、光学等基本理论进行试验取得了重要的成果；胡庆荣[9]研究了土壤中的盐质成分对土壤相对介电常数的影响及关系，并根据盐质成分的影响因素对Dobson土壤混合介电模型加以修正，并以此修正模型研究吉兰泰试验地区的盐质土壤对地质雷达成像特征的影响；朱安宁等[10]建立了潮土、风沙土、红壤、水稻土的相对介电常数与含水率的经验关系，以此关系修正Topp模型，校正Herkelrath模型的系数。

以上研究并未对基于地质雷达法的非饱和黄土介电性能进行较为全面准确的测试。本文考虑非饱和黄土含水率与压实度共同作用下的黄土相对介电常数与电导率特征，并以此为基础研究非饱和黄土界面的电磁波反射成像的机理与规律。

2 黄土相对介电常数的数学模型

2.1 混合黄土相对介电常数的数学模型

非饱和黄土的土壤主要由固相、液相和气相构成，若土中的孔隙全部由水填充时，称为饱和土；土壤孔隙由水和空气填充，则该土壤为非饱和土。非饱和黄土的结构如图1所示。

图1非饱和黄土结构示意图

Fig.1Structureofunsaturatedloess

黄土的结构特征为固相、液相、气相的混合体。因此本文从外加电场与黄土各组分的容积比例、相对介电常数的关系入手，联立求解，以获得混合相对介电常数关于各组分相对介电常数与体积的表达式。

联立洛仑兹(Lorentz)定律[11]：

(1)

(2)

式中：Ei为具体组分的有效分子电场；Ein为组分的平均宏观电场；E为外加电场；εri和εr分别为组分的介电常数和混合介质的介电常数。

电动势位移Di公式为[12]

(3)

式中：ε0为真空相对介电常数；N为单位体积内偶极子数目；电子电量e= 1.6×10-19C(库伦)；电子质量m= 9.11×10-31kg；k为耦合系数；ω为电磁场激励的主频率。

地质雷达在探测时产生电磁场，相当于对黄土各相介质施加外在电场，而黄土的三相介质近似符合电介质特征，因此混合黄土的电场-相对介电常数关系式可由Lorentz模型结合电动势方程得出，即

(4)

式中：Dx是混合体中各组分的电动势；Ex是混合体中各组分的电场强度；ε∞是相对介电常数的极值。

整体相对介电常数与各组分相对介电常数值的一般线性关系为[13]

ε=kaεa+ksεs+kwεw,ka+ks+kw=1 。

(5)

式中：ε为非饱和黄土相对介电常数；εa，εs，εw分别为气体、固体、液体的相对介电常数；ka，ks，kw分别为气体、固体、液体容积比例系数。

联合混合黄土的电场-相对介电常数关系式(4)以及三相介质间的线性关系式(5)，可得到黄土相对相对介电常数的一般关系式，即

(6)

通过一元二次方程的求根公式即可得出混合黄土相对介电常数。

图2 非饱和黄土相对介电常数与含水率关系曲线Fig.2 Relationship between permittivity and moisture content of loess

2.2 非饱和黄土相对介电常数的数学模型

黄土由土颗粒与自由水2种介质组成，取黄土颗粒的相对介电常数为5，水的相对介电常数为81，则有

(7)

式中θ为体积含水率，是指黄土中的水体积占黄土在自然状态下总体积的百分比。其规律曲线如图2所示。

根据解析解方程分析，随着非饱和黄土的含水率逐渐增加，黄土颗粒-水的混合体相对介电常数逐渐增加，而对极值分析可知，当含水率增加至1时，也就是纯水状态下相对介电常数为73，整体规律趋势基本正确，符合一般规律。

3 黄土相对介电常数的经验模型

3.1 试验设备与测试参数

本文试验采用美国GSSI公司生产的SIR-3000系列地质雷达，根据试样的尺寸选择天线频率分别为400，900，2 000 MHz；制样采用的是平面应变试验设备，尺寸为10 cm×10 cm×5 cm (长×宽×高)；压样设备选用反力架。各仪器设备及所制土样如图3所示。

图3中(a)—(d)分别为压样反力架、制样模具、雷达主机及天线、土样的实物图。对不同含水率的试样进行扫描采集数据，本文采用2 000，900，400 MHz天线测试，这3种天线的性能及参数设置如表1所示。

(a)压样反力架(b)制样模具(c)雷达主机及天线(d)土样

图3 试验设备及黄土试样

3.2 黄土含水率、压实度与相对介电常数关系分析

扫描后的图像数据可以体现出试样表面和底面的具体位置，可计算试样相对介电常数。由于深度的读取存在一些误差，为了精确的目的，每一组数据均进行3次读取。

以地质雷达的2 000 MHz天线作为相对介电常数的测试仪器，在不同含水率、不同压实度下黄土相对介电常数测量数据如表2所示。

表2 不同含水率和不同压实度下的黄土相对介电常数

根据同时受到压实度和含水率影响的黄土相对介电常数数据可以绘制出曲面拟合图，如图4所示。

当土体含水率不变时，土的相对介电常数随土体压实度的提高而增大， 这是由于随着压实度的提高，

图4不同含水率、不同压实度的黄土相对介电常数

Fig.4Loesspermittivityunderdifferentmoisturecontentanddifferentcompactness

孔隙水的填充率增大，单位体积土体产生的极化电荷增多，极化效应增强，表现为相对介电常数增大现象。

含水率与相对介电常数呈正相关关系，随着含水率的提高，土样相对介电常数相应增大；从纵向来看,在同一含水率下，压实度的提高也会引起相对介电常数的增大，但其增大的量值相对很小，通过压实度变化来反映相对介电常数的相应改变效果较差。

通过MatLab曲面拟合工具，选取含水率与压实度的二次方为参考系数，可获得最佳拟合曲面方程式,即

εr=1.821+20.520n-2.009θ-

24.390n2+2.564nθ+0.004θ2。

(8)

式中n为压实度。式(8)是不同含水率、不同压实度的黄土相对介电常数值的最佳拟合曲面方程。

3.3 不同主频下黄土含水率与相对介电常数关系

地质雷达的基本原理在于电磁波的发射与接收，而不同的天线对应不同频率的电磁波信号，显然频率不同，介质的物理响应必然不同。为了进一步研究不同频率电磁波的影响，本文以配套的400，900，2 000 MHz的天线分别对同一试样进行测试。

选择400 MHz天线，以压实度为0.92、不同含水率的试样进行测试。地质雷达扫描完成，通过导出数据并做后期处理后，提取地质雷达图像中的反射界面，并通过波速计算公式，得出不同含水率下黄土试样的相对介电常数。将不同频率天线所测试的结果相互对比，并与Topp公式[14]、CRIM公式[15]、Dobson公式[16]比较，见图5。

同一试样在不同的主频激励下产生不同的相对介电常数，原因在于不同频率的地质雷达电磁波脉冲对黄土相对介电常数这一固有性质产生不同的影响，因而相同的试样却有不同的相对介电常数测试值，这也是研究雷达频率影响的重要原因和依据；同时，400 MHz主频测试的相对介电常数较低，其次是900 MHz主频测试的相对介电常数测试值，而2 000 MHz主频测试的相对介电常数值最高，从而产生随着主频增加，相对介电常数值也随之增加的经验规律。因此在黄土场地等工程检测中，黄土相对介电常数必须随着主频天线进行相应的调整。

图5不同天线频率下黄土含水率与相对介电常数关系

Fig.5Fittedcurvesofmoisturecontentvs.permittivityofloessinthepresenceofdifferentantennafrequency

根据各个主频下的拟合曲线及数学模型表达式建立基于主频率变化的相对介电常数经验模型,即

(9)

4 非饱和黄土界面反射机理数值模拟

对不同相对介电常数情形下的成像特征进行对比分析，从而通过数值的方法进一步研究相对介电常数对回波波形的影响程度与效果。相比于试验方法，数值方法具有非常理想的波形传播效果。试验方法存在较多的缺陷，如介质并不是理想均匀；尺寸较大的试样不能确保均匀压实；室内环境容易受到外界干扰以及后期处理中的读数误差。

4.1 非饱和黄土界面反射数值模拟

根据波形对比要求，建立浅层黄介电模型，旨在保持其余参数不变，研究黄土相对介电常数变化对回波波形的影响，并期望从回波量化的方面进行深入分析。具体的介电模型如图6所示。

图6非饱和黄土基层界面回波分析数值模型

Fig.6Numericalmodelofunsaturatedloessinterfaceechoes

本模型的水平距离为2.0 m，探测深度为0.7 m，单元格大小为0.002 5 m×0.002 5 m，时间测深为20 ns，分为第1层也就是表层相对介电常数为0，电导率为0.00 S/m，厚度为30 cm；第2层也就是非饱和黄土层相对介电常数分别为5，10，20，30，40，50，电导率为0.000 01 S/m，厚度为40 cm；子波主频设置为900 MHz，激励源为Ricker子波，通过180道计算步，每个计算步为3 391次。最终成像如图7所示。

图7非饱和黄土基层界面回波成像结果

Fig.7Interfaceechoesofunsaturatedloess

图7中(a)—(f)分别为基层非饱和黄土的相对介电常数分别为5，10，20，30，40，50的反射成像图。地质雷达波的界面反射变化趋势明显，其中时间尺度在3 ns左右的反射波幅也呈现逐渐增加的趋势，说明随着非饱和黄土中含水率增加，相对介电常数随之增加而产生的界面反射明显增强，但是仅在成像剖面图中并不能给予量化性的描述，需要对波幅的幅值加以对比分析。

4.2 不同相对介电常数界面的回波波幅规律

单波列中由于表面波的强烈干扰，需要针对第2道反射波的数据提取并细化分析。通过地质雷达信号单波道数据提取，并针对界面反射位置，研究不同相对介电常数的界面反射波幅规律，主要规律见图8。

根据图8的基本规律可知，随着土层相对介电常数增加，回波波峰的波幅绝对值增加。再根据雷达波在介质中的传播范围，提取子波波幅的极值点。不同相对介电常数的界面反射波幅极值见表3。

截取波幅时，回波曲线在计算步为490时达到最大值，计算步为545时达到最小值，显然随着黄土层相对介电常数由5增加至50时，回波的波峰、波谷幅值增加约1倍。

图8 不同相对介电常数试样的界面反射的波形分析

5 结 论

本文通过对黄土相对介电常数的数学物理模型理论推导，对比不同频率地质雷达天线对不同含水率、不同压实度试样的测试，获取基于地质雷达的非黄土相对介电常数取值范围，并以此为基础用数值方法研究不同含水率界面的地质雷达回波特征及规律，得出主要结论如下：

(1)当土体含水率不变时，土样的相对介电常数随着土体压实度的提高而增大；当土体压实度不变时，随着含水率的提高，土样的相对介电常数相应增大。

(2)同一试样在不同的主频激励下产生不同的相对介电常数；400 MHz主频的测试相对介电常数较低，其次是900 MHz主频的相对介电常数测试值，而2 000 MHz主频的测试相对介电常数最高。

(3)随着非饱和黄土中含水率增加，相对介电常数随之增加而产生的界面反射明显增强；非饱和黄土的相对介电常数值越大，整体波形中的最大波幅与最小波幅的绝对值均为最大；而非饱和黄土的相对介电常数值越小，整体波形中最大波幅与最小波幅的绝对值均为最小。

[1] 赵永虎,刘 高,毛 举,等.基于灰色关联度的黄土边坡稳定性因素敏感性分析[J].长江科学院院报, 2015, 32(7): 94-98.

[2] 孙 强,赵俊平,王媛媛,等.基于摩擦学原理的土质边坡稳定性分析[J].长江科学院院报,2008,25(5):111-114.

[3] TRAN A P, VANCLOOSTER M, ZUPANSKI M. Joint Estimation of Soil Moisture Profile and Hydraulic Parameters by Ground-Penetrating Radar Data Assimilation with Maximum Likelihood Ensemble Filter[J]. Water Resources Research, 2014, 50(4): 3131-3146.

[4] THRING L M, BODDICE D, METJE N. Factors Affecting Soil Permittivity and Proposals to Obtain Gravimetric Water Content from Time Domain Reflectometry Measurements[J].Canadian Geotechnical Journal,2014,51(11): 1303-1317.

[5] MARUYAMA Y, NUMAMOTO Y, SAITO H,etal. Complementary Analyses of Fractal and Dynamic Water Structures in Protein-Water Mixtures and Cheeses[J]. Colloids and Surfaces A: Physicochemical and Engineering Aspects, 2014, 440: 42-48.

[6] URBAN T M, LEON J F, MANNING S W,etal. High Resolution GPR Mapping of Late Bronze Age Architecture at Kalavasos-Ayios Dhimitrios, Cyprus[J]. Journal of Applied Geophysics, 2014, 107: 129-136.

[7] 巨兆强. 中国几种典型土壤介电常数及其与含水量的关系[D]. 北京：中国农业大学, 2005.

[8] 孙宇瑞.非饱和土壤介电特性测量理论与方法的研究[D]. 北京：中国农业大学, 2000.

[9] 胡庆荣. 含水含盐土壤介电特性实验研究及对雷达图像的响应分析[D]. 北京：中国科学院研究生院, 2003.

[10] 朱安宁, 吉丽青, 张佳宝, 等. 不同类型土壤介电常数与体积含水量经验关系研究[J]. 土壤学报, 2011, 48(2): 263-268.

[11] LORENTZ H A. Electromagnetic Phenomena in a System Moving with Any Velocity Smaller than That of Light[M]. New York: Springer, 1937.

[12] 葛德彪. 电磁波理论[M]. 北京：科学出版社, 2011: 56-92.

[13] 曾昭发, 刘四新, 冯 晅, 等. 探地雷达原理与应用[M]. 北京：电子工业出版社, 2010: 44-45.

[14] TOPP G C, DAVIS J L, ANNAN A P. Electromagnetic Determination of Soil Water Content: Measurements in Coaxial Transmission Lines[J]. Water Resources Research, 1980, 16(3): 574-582.

[15] LAURENS S, BALAYSSAC J P, RHAZI J,etal. Non-destructive Evaluation of Concrete Moisture by GPR: Experimental Study and Direct Modeling[J]. Materials and Structures, 2005, 38(9): 827-832.

[16] DOBSON M C, ULABY F T, HALLIKAINEN M T,etal. Microwave Dielectric Behaviour of Wet Soil Part II: Dielectric Mixing Models[J]. IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing, 1985, GE-23(1): 35-46.