焦点三角形中有t结论的研究及应用

江苏省泗洪中学 孙于闵

焦点三角形中有t结论的研究及应用

江苏省泗洪中学 孙于闵

一、焦点三角形中的有关结论的探究

1.焦点三角形的面积公式。设P是椭圆上异于长轴端点的任一点,F1,F2为其焦点,记∠F1P F2=θ,则 S△PF1F2=c|yP|=b2t a n。当P点位于短轴顶点处时,θ最大,此时S△PF1F2也最大,为b c。设P是双曲线上异于长轴端点的任一点,F1,F2为其焦点,记∠F1P F2=θ,则S△PF1F2=c|yP|=。

3.通径。过焦点且垂直于长轴的弦叫通径,对于椭圆或双曲线来说,其长度都为2p-,利用方程可探究出其结果。

二、焦点三角形中有关结论的应用

反思:共焦点的椭圆和双曲线的交点构成的焦点三角形的问题,如何沟通两个离心率倒数之和的关系,解法1采用定义、余弦定理和题设条件,这是面积公式推导中的通法;解法2利用两个焦点三角形面积公式,使问题简单化。在焦点三角形中,利用正弦定理、余弦定理及椭圆或双曲线的第一定义进行解题,行之有效。

解法1:在△F1P F2中,令∠F1F2P=α,∠P F1F2=β,且α+β=6 0°,由正弦定理得=|=。

反思:解法1借助正弦定理及三角函数的有界性来构建关于a,c的不等式。解法2借助余弦定理及均值不等式来解决。它们有一个共同特点就是利用椭圆的第一定义充分挖掘焦点三角形的潜在条件。

(责任编辑 王福华)