在动手中操作 在操作中感悟
——记一节“折长方体纸盒”数学实验课

汪 健

(江苏省苏州市立达中学 215007)

初中数学实验是通过动手动脑“做”数学的一种数学学习活动，是学生运用有关工具(如纸张、剪刀、模型、测量工具、作图工具以及计算机等)，在数学思维活动的参与下进行的一种以人人参与的实际操作为特征的数学验证或探究活动．它强调“从做实验中学”，力图通过学生“做实验”的主动探究过程来培养他们的动手实践能力、解决问题的能力和创新精神，积累基本活动经验，进而有效转变初中数学教与学的方式．下面以笔者最近上的一节“折长方体纸盒”数学实验课为例，来谈谈初中数学实验教学的一些做法，敬请同行们批评指正．

1 实验内容分析

苏科版《数学》教材在七年级(上)时曾安排过以“制作无盖的长方体纸盒”为课题的探究学习，当时只是让学生感受图形的展开与折叠，初步体会“从实际问题中抽象出数学问题—建立数学模型—综合应用已有的知识解决问题”的过程．为了体现数学实验教学的特点，体会知识点之间的联系，笔者在九年级以“折长方体纸盒”为课题上了一节综合实践课，让学生再次经历想象、实验、分析、猜测、交流、推理和反思等一系列过程，综合图形的展开与折叠、运用数形结合、方程函数等数学思想方法，提高学生综合运用知识的能力．

课前准备：边长为60cm的正方形硬纸片5张；剪刀；每人收集至少2个长方体纸盒．

2 实验教学过程

数学教学就是数学活动的教学，我们在进行数学实验教学时可以用活动引出问题，用问题串联教学．本节课为增强学生的感性认识，为下面的设计剪裁方案做好铺垫，先组织学生进行活动1；有了活动1的基础，接着让学生进行活动2．

活动1让学生观察、交流每人收集来的长方体纸盒，并将长方体盒子进行展开，得到它们的平面展开图，再进行复原．

活动2将准备好的正方形硬纸片(如图1)折成一个长方体盒子．请分别按下列要求设计剪裁方法，先用虚线表示你的设计方案(要求尽可能多地利用纸片)，再根据相应要求计算出有关数据(纸片的厚度忽略不计)．

图1

问题1若折成的是底面为正方形且无盖的长方体盒子(如图2)．

图2

(1)请画出对应的设计图；

(2)要使折成的长方体盒子的底面积为1600cm2，那么长方体盒子的高为多少？

(3)能否使折成的长方体盒子的侧面积为2000cm2，如果能，请求出此时长方体盒子的高；如果不能，请你求出侧面积的最大值和此时长方体盒子的高．

解(1)如图3，在正方形硬纸片的四角各剪去一个同样大小的正方形(阴影部分)．将剩余部分沿虚线折起，可折成如图2的长方体盒子．

图3 图4

如图4，在正方形硬纸片的四角和四边上分别剪去一个同样大小的等腰直角三角形(阴影部分)．将剩余部分沿虚线折起，可折成如图2的长方体盒子．

(2)图3中设长方体盒子的高为xcm,

由题意得 (60-2x)2=1600,

解得x1=10，x2=50(不合题意，舍去)．

故此时长方体盒子的高为10 cm．

图4中设长方体盒子的高为xcm，

即GE=GF=xcm.

(3)假设按图3方式折成的长方体盒子的侧面积为2000 cm2，

令此时长方体盒子的高为xcm，

由题意得 4x(60-2x)=2000，

整理得x2-30x+250=0，

因为 Δ=900-1000<0，所以方程无解.

故不存在侧面积为2000 cm2的长方体盒子.

若设长方体盒子的高为xcm，

折成的长方体盒子的侧面积为ycm2，

则y=4x(60-2x)=-8x2+240x

=-8(x-15)2+1800,

所以x=15时，y最大=1800,

即当长方体盒子的高为15 cm时，长方体盒子的侧面积最大为1800 cm2．

假设按图4方式折成的长方体盒子的侧面积为2000 cm2，

令此时长方体盒子的高为xcm,

因为Δ=1800-2000<0，所以方程无解．

故不存在侧面积为2000 cm2的长方体盒子．

若设长方体盒子的高为xcm，

折成的长方体盒子的侧面积为ycm2．

长方体盒子的侧面积最大为1800 cm2．

问题2若折成的长方体盒子的上盖是由一个矩形组成(如图5)．

图5

(1)请画出对应的设计图；

(2)若折成的一个长方体盒子的表面积为2800 cm2，求此时长方体盒子的长、宽、高．

解(1)如图6，在正方形硬纸片的一组对边上剪去一些矩形(阴影部分)．将剩余部分沿虚线折起，可折成如图5的长方体盒子．

图6

(2)设剪去的正方形的边长为xcm．

由题意得 2(60-2x)(30-x)+2x(30-x)+

2x(60-2x)=2800,

解得x1=10，x2=-40(不合题意，舍去)．

故此时长方体盒子的长、宽、高分别为40 cm、20 cm、10 cm．

问题3若折成的长方体盒子底面为正方形且上盖由四个全等的矩形(双层)组成(如图7)．

图7

(1)请画出对应的设计图；

(2)若某广告商要求折成的长方体盒子的侧面积(不含上、下底面)S最大，试求长方体盒子的底面积．

解(1)如图8，在正方形硬纸片的四角各剪去一个同样大小的正方形(阴影部分)．将剩余部分沿虚线折起，可折成如图7的长方体盒子．

图8

(2)设剪去的正方形的边长为xcm，

折成的长方体盒子的侧面积为ycm2．

由题意得y=4(60-2x)[x-(30-x)]

=-16(x-22.5)2+900.

所以当x=22.5时，y有最大值.

此时长方体盒子的底面边长为60-2x=15.

所以长方体盒子的底面积为225 cm2．

问题4若折成的长方体盒子底面为正方形且上盖由四个全等的等腰直角三角形组成(如图9)．

图9

(1)请画出对应的设计图；

(2)若折成的长方体盒子的底面面积为1250 cm2，求长方体盒子的高；

(3)若折成的长方体盒子恰好是个正方体，求这个长方体盒子的体积V；

(4)若某广告商要求折成的长方体盒子侧面积S( cm2)最大，求上盖中四个全等的等腰直角三角形的腰长；

(5)试问能否用这个长方体盒子盛放一个底面半径为15 cm，高为15 cm的圆柱形工艺品？若不能，说明理由；若能，求出长方体盒子的高．

解(1)如图10，在正方形硬纸片的四边上剪去四个全等的等腰直角三角形(阴影部分)．将剩余部分沿虚线折起，使A、B、C、D四个点重合于图中的点O，则可折成如图9的长方体盒子．

图10

(2)设长方体盒子的高为xcm，

即GE=GF=xcm.

(3)设GE=GF=xcm.

(4)设上盖中四个全等的等腰直角三角形的腰长为xcm,即AE=FB=xcm．

所以S=4ah=8x(30-x)

=-8(x-15)2+1800.

故当x=15时，长方体盒子侧面积S取最大值．

(5)设长方体盒子的底面正方形的边长为acm，高为hcm.

① 若按图11(俯视图)放置，圆柱的底面朝下放入，此时长方体盒子的高h不能小于15.

因为圆柱形工艺品的底面半径为15，

所以盒子底面正方形的边长a最小取30.

故不能放下.

图11

图12

图13

图14

此时有两种特殊的放置方法：

若按图12(俯视图)放置，

此时盒子底边长a最小取30.

所以此时圆柱形工艺品放不下；

若按图13(俯视图)放置，

此时盒子底边长为

所以此时圆柱形工艺品也不能放下.

其他任意位置摆放，圆柱形工艺品也不能放下．理由如下：

实质上就是将边长为15和30的矩形放入另一矩形，如图14.

根据图示，运用相似三角形的有关知识可得：

此时矩形的面积

S=(x+2y)(2x+y)=5xy+2(x2+y2)

此时x=0和15为图12情况；

令x2=t(0

T有最大值，即S有最大值．

此时为图13情况.

所以无论位置如何摆放，正方形的边长a最小只能取到30.

综上所述，不能放下这个圆柱形工艺品．

从上我们可以看到，开展数学实验教学是可行的，数学是可以“做”实验的．数学实验是数学学习的一种方式，这种学习方式，不是让学生被动地接受教科书上或教师讲授的现成结论，而是让学生从自己已有的“数学经验”出发，变“听数学”为“做数学”，变“看演示”为“动手操作”，变“机械接受”为“主动探究”．

数学实验教学是《课程标准》的基本要求，也是切实转变数学学科教与学方式的有效载体．数学实验对转变教学方式、激发学习兴趣、唤醒主体意识、培养合作探究、帮助数学理解、促进思维发展、积累活动经验等都具有一定的价值，迫切需要引起数学教育工作者的高度重视，将其作为课程来开发与实施．