基于二阶盲辨识的系统谐波阻抗计算*

赵俊屹，杨超颖，薛志伟，赵熙

（1.国网山西省电力公司电力调控中心，太原030001；2.四川大学电气信息学院，成都610065）

0 引 言

随着电力系统的发展，越来越多的非线性设备接入电网，造成电能质量指标的恶化。但高精尖电子设备等对电能质量的要求越来越高，如何提高电能质量成为重中之重［1-3］。

治理电能质量主要是对谐波污染的治理，对谐波污染进行责任划分。由于不同电压等级下电流的数值不同，一般采用谐波电压作为责任划分的判据。国际电工委员会定义用户某次谐波发射水平是，用户接入系统前后所引起的公共耦合点（the common point of coupling，PCC）处某次谐波电压或者电流的变化量，由此可以得出进行谐波责任划分的关键是系统谐波阻抗的计算，系统谐波阻抗计算的准确性关系到谐波责任划分的精度。

目前主要有以下几种计算系统谐波阻抗的方法：波动量法［1-2］，通过计算公共耦合点测到的谐波电压和电流的比值计算系统谐波阻抗值，但是只通过比值符号无法区分引起谐波波动的主导侧，也无法保证系统谐波阻抗的计算精度。线性回归法［4-5］，根据用户侧和系统侧电路模型列写方程组，并计算方程组系数，根据系数计算谐波阻抗值，该方法一般基于最小二乘法，所以当背景谐波不是正态分布时，方法的适用性下降并造成计算误差。随机独立矢量法［6］通过随机独立协方差为零的特性，抑制背景谐波的干扰，但随着系统侧谐波发射水平的增加，误差逐渐增加，仅在系统侧谐波较小时系统谐波阻抗计算准确。

盲源分离［7-11］（blind source separation，BSS）主要是利用源信号之间的独立性将各源信号分离开。二阶盲辨识［7］（second order blind identification，SOBI）是一种基于二阶统计量的盲源分离算法，基于延时互相关阵原理上的盲分离，它通过二阶统计量将线性混合信号中的所有源信号解混出来，计算过程简单，分离效果较好。

文章首先分析随机独立矢量法的误差来源，即将公共耦合点谐波电流近似为用户侧谐波电流值，在系统谐波电流值较大的情况，误差较大，从测量到的电压和电流信号中提取用户侧谐波电流信号可以有效的提高方法的计算准确性。文中提出采用二阶盲辨识的方法从公共耦合点测量到的电压和电流信号中分离出4个独立信号，根据独立信号与测得的电流之间的相关系数，得到用户侧谐波电流的估计信号，用得到的估计信号并根据随机矢量协方差为零的性质计算系统谐波阻抗值。通过仿真计算和分析，表明本文方法有效的提高了计算的准确度，具有较好的工程应用前景。

1 基本原理

1.1 谐波发射水平

由于不同电压等级下谐波电流大小不同，所以一般采用谐波电压进行谐波责任划分和定义谐波发射水平。谐波责任分析一般用诺顿等效电路图进行分析，诺顿电路图如图1所示。

图1 包含系统和用户的谐波诺顿等效电路Fig.1 Harmonic Norton equivalent circuit including utility and customer

依据谁污染谁治理的基本原则，需要对谐波责任进行定量和划分。国际电工委员会标准IEC 61000-3-6定义用户某次谐波发射水平为：用户接入PCC处后所引起的对应某次谐波电压或者谐波电流的变化量。当用户接入电网公共耦合点前，公共耦合点谐波电压VPCC0为：

在用户接入PCC处后，如图1所示，公共耦合点谐波电压VPCC是用户谐波电流IC和系统谐波电流IU共同作用，即：

根据式（1）和式（2）可得用户谐波发射水平UPCC-C表达式如式（3）所示。

背景谐波发射水平VPCC-U为：

根据式（3）和式（4）公式可以看出用户谐波发射水平和背景谐波发射水平计算的关键在于系统侧谐波阻抗的计算。

1.2 随机独立矢量法误差分析

文献［1］根据以下原因，认为 IPCC主要由 IC贡献，与 IU弱相关或者无关：｜ZU｜＜＜｜ZC｜；IC与 IU具有可比性，且前一项大于后一项；IU和IC的波动是随机的，IU的方差小于IC的方差。根据以上特点，可以得到：

式中E表示数学期望值运算；N表示IPCC和UPCC数据长度；*表示复数共轭。为方便起见，用IPCC表示 IPCC-E（IPCC），UPCC表示 UPCC-E（UPCC），IU表示 IUE（IU），IC表示 IC-E（IC），式（5）可变为：

对式（6）进行等式变形，可得系统侧谐波阻抗ZU计算公式为：

为分析系统侧谐波阻抗计算式（7）的误差，将IPCC表示式代入式（6）等号左边可得：

式中 a＝ZC／（ZC＋ZU），b＝ZU／（ZC＋ZU）。由式（8）可知，式（6）并不严格等于0。当系统侧谐波电流IU增大时，式（8）与0的偏移量增大。由于式（6）非等于0，系统侧谐波阻抗ZU实际为：

由此可以看出，系统侧谐波阻抗ZU的计算存在误差。当IU增大时，由式（7）计算出的系统侧谐波阻抗和式（9）表示的真实系统侧谐波阻抗差距愈大。

1.3 二阶盲辨识

盲源分离是基于某种准则下的优化问题。盲源分离的模型可以表示为：

式中 t表示离散时刻，取值为 t＝1，2，…，T，S（t）表示N个未知的源信号组成的源信号矩阵，S（t）＝［S1（t），S2（t），…，SN（t）］T；X（t）是 M个可观测信号组成的观测信号矩阵，X（t）＝［X1（t），X2（t），…，XM（t）］T，且 M≥N，本文模型中 M＝N；A是混合矩阵，反映各个源信号Si在观测信号X中所占的权重比例；n（t）是模型中的白噪声。盲源分离分析过程可以表示为图2所示。

图2 盲源分离的原理图Fig.2 Principle diagram of BSS

SOBI算法［7］通过非零延时相关矩阵的联合对角化进行信号分离，采用了源信号的频谱差异性来分离源信号。考虑存在白噪声的情况，噪声的协方差矩阵为：

观测信号的相关系数矩阵为：

通过式（12）计算的相关系数矩阵受到噪声的影响；而式（13）通过鲁棒预白化的处理，当i≠0时，对数据的白化处理不受白噪声的影响，更为合理，SOBI算法和鲁棒预白化的具体步骤为：

首先，计算样本观测信号的相关系数矩阵，可得R＝［Rx（1），…，Rx（K）］，即 R＝URΣVT，其中 UR∈Rn×n和 V∈RnK×nK是正交矩阵。当 i＝1，…，K时，分别计算Fi＝URTRx（i）UR，选取任意初始向量 αi∈Rn得 F＝ΣαiFi。

然后，对F是否是正定矩阵进行判断。若F不是正定矩阵，对初始向量αi进行修正。选取矩阵F最小特征值所对应的特征向量u，计算修正量δ＝［uTF1u…uTFKu］T／｜｜uTF1u…uTFKu｜｜，将 α＋δ代替原来的初始向量α。

其次，C＝ΣαiRx（i），对 C进行特征值分解可得到 C＝UCdiag［λ12，…，λn2］UCT，其中 λi是特征值，白化矩阵是 W＝diag［λ1，λ2，…，λn］UCT。

最后，得到相关系数矩阵 Rx（i）＝WRx（x）WT，通过对｛Rx（i）｜i＝1，2，…，K｝进行联合对角化求得酉矩阵 U，得到解混后的估计信号 S（t）＝UTWx（t）。

2 基于二阶盲辨识的系统谐波阻抗计算

由于通过SOBI计算得到的独立信号具有顺序的不确定性，所以应当先判断分离信号与源信号之间的对应关系。

首先，建立方程模型，用矩阵表示为：

式中 X＝［VPCC-x，VPCC-y，IPCC-x，IPCC-y］，是测量得到的电压和电流向量组成的矩阵；VPCC-x，VPCC-y，IPCC-x，IPCC-y分别是PCC处谐波电压和电流向量的实虚部；I＝［I1，I2，I3，I4］，是解混得到的独立信号，根据SOBI的性质，这些信号具有幅值、相位、顺序的三个不确定性；A是混合系数矩阵，反映每个源信号所占的比重。

测量得到的谐波电压和电流可以分解为快速变化部分和缓慢变化部分。因此，矩阵X和I可以分解为两个部分，即：

式中Xf是矩阵X的快速变化部分；Xs是矩阵X的缓慢变化部分；If是矩阵I的快速变化部分；Is是矩阵I的缓慢变化部分。快速变化的源信号混合而成快速变化的观测信号，缓慢变化的源信号混合而成缓慢变化的观测信号。因此，得到：

观测信号的缓慢变化部分Xf是由缓慢变化的源信号If组成，由于缓慢变化的源信号之间存在一定的相关性，Xf不是完全独立不相关的，这也使得组成X的信号不是完全独立不相关的，不符合SOBI和BSS的应用条件。因此，应该先对观测到的原始信号进行滤波处理，将测量到的谐波电压和谐波电流信号分解为Xf和Xs两部分。对快速变化部分Xf进行SOBI分析。

然后，对公共耦合点测量得到的谐波电压和谐波电流快速变化部分进行SOBI分析，得到4个独立分量，即I1，I2，I3，I4。这些得到的独立信号具有顺序和幅值的不确定性，幅值的不确定性是指得到信号与源信号的幅值可能相同，也可能不同，无法直接进行判断；顺序不确定性是指得到的信号（I1，I2，I3，I4）无法和源信号（If-Cx，If-Cy，If-Ux，If-Uy，分别是用户谐波电流快速变化部分实部、用户谐波电流快速变化部分虚部、系统谐波电流快速变化部分实部、系统谐波电流快速变化部分虚部）一一对应，即I1可能是If-Cx的估计信号，也可能是If-Cy的估计信号。若要得到正确的结果，必须对信号的顺序先进行确定；若信号的幅值不影响计算结果，可以进行忽略。

为了可以区分出估计信号与源信号之间的对应关系，需要用到一个合理的假设，即用户侧谐波阻抗值远远大于系统侧谐波阻抗值，ZC＞＞ZU。根据式（17），可以很明显的看出，公共耦合点的谐波电流主要由用户侧贡献，可以近似等于用户侧谐波电流。因此，分离得到的估计信号中与公共耦合点电流的实部相关系数绝对值最大的信号是用户侧谐波电流实部信号的估计信号，与公共耦合点电流的虚部相关系数绝对值最大的信号是用户侧谐波电流虚部信号的估计信号，这样就得到了用户侧谐波电流信号的估计信号，解决了估计信号顺序不确定的问题。

不妨假设I1与I2分别对应用户侧谐波电流快速变化量的实虚部，则根据（17）计算系统谐波阻抗值，即：

式中N表示信号的长度。根据式（18）可以得到系统谐波阻抗估计值Z1＝ZUx-1＋ZUy-1和Z2＝ZUx-2＋ZUy-2。为消除误差，取二者的平均值作为最终结果，即：综上所述，本文方法具体步骤为：

（1）将公共耦合点的谐波电压和谐波电流信号分解为快速变化部分和缓慢变化部分；

（2）用得到的快速变化信号进行SOBI解混，得到4个独立信号分量；

（3）计算4个独立信号分量与公共耦合点谐波电流实虚部之间的相关系数，根据相关系数的大小确定用户侧谐波电流实虚部的估计信号；

（4）根据随机矢量协方差为零的性质，和系统侧、用户侧谐波电流快速变化部分相互独立的特性，根据公式（18）计算系统谐波阻抗值，得到两个估计值 Z1和 Z2；

（5）取Z1和Z2的平均值ZU作为系统谐波阻抗估计值。

3 仿真分析

根据图1所示的电路图，使用matlab 8.1编程建立仿真模型，验证本文方法的有效性和准确性。

仿真参数设置为：首先分析系统谐波阻抗恒定不变的情况，用户侧谐波电流幅值初始值为30 A，系统侧谐波电流幅值初始值为5 A，电流的相角均设置为0，用户侧和系统侧谐波电流实虚部分别加上正弦扰动和随机均匀扰动。用户谐波阻抗值幅值设置为50Ω，相角为30°；系统谐波阻抗幅值设置为10Ω，相角为 45°。

分别使用随机独立矢量法（方法1）、波动量法（方法2）、回归法（方法3）、本文方法（方法4）计算，得到计算结果如表1所示。

从表1中可以看出，本文方法相对于其他方法计算准确，这是因为本文使用SOBI分离用户侧谐波电流进行计算，提高了计算精度。方法1依然受到背景谐波的干扰；方法2使用测量到的谐波电压和电流波动量的比值进行计算，受背景谐波干扰很大；由于仿真中背景谐波不是正态分布，方法3计算结果不准确。因此，本文方法提高了计算精度，具有良好的应用前景。

为了进一步分析本文方法的有效性，在用户谐波阻抗和系统谐波阻抗分别加上2.5%的正弦波动和5%的随机正态扰动，以模拟工程实际中，谐波阻抗不能恒定不变的情况，得到计算结果如表2所示。

表1 各方法计算结果Tab.1 Calculation results by each method

表2 扰动后各方法计算结果Tab.2 Calculation results by each method added fluctuation

从表2可以看出，本文方法在谐波阻抗存在一定扰动的情况下，与其他方法相比，计算结果准确，说明本文方法的准确性。

4 结束语

本文分析了随机独立矢量法的误差来源，提出基于SOBI的改进型随机独立矢量法，有效的提高了计算精度，具有较好应用前景。比较分离得到的估计信号分量与公共耦合点谐波电流之间的相关系数绝对值大小，确定解混后的信号的顺序，解决了SOBI应用时顺序不确定性问题的困惑。由于解混后的独立信号的幅值不影响系统谐波阻抗的计算，从而也解决了SOBI分离的幅值不确定性的问题。与其他主流方法相比，本文方法提取用户谐波电流数据，有效的抑制了系统谐波的干扰，计算结果更加准确。

对PCC处测量到的谐波电压和电流信号分离为快速变化部分和缓慢变化部分，本文使用快速变化部分进行分析，而没有考虑缓慢变化部分，如何综合利用缓慢变化部分所包含的信息，提高计算精度，是进一步需要研究的方向。

如何提高SOBI的分离精度，提高分离速度也是值得进一步研究的方向。