正弦、余弦定理在三角形中的应用

■重庆市铁路中学 何成宝

正弦、余弦定理在三角形中的应用

■重庆市铁路中学 何成宝

正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要定理,其主要作用是将已知条件中的边角关系转化为纯边或纯角的关系,使问题得以解决。下面举例说明正弦、余弦定理在三角形中的应用,仅供参考。

一、解三角形

已知三角形的某些边或角,求三角形的其他边与角。

在△ABC中,C=180°-A-B=120°-B。由已知条件,应用正弦定理得:

二、判断三角形的形状

三角形形状的判断常常通过正弦定理或余弦定理,将已知条件中的边角关系转化为边或角的关系,通过寻找边之间的关系或角之间的关系来判定。

解法1：由已知条件,应用余弦定理得:

整理得a2(b2+c2-a2)+b2(a2+c2-b2)=c2(a2+b2-c2),2a2b2-a4-b4=-c4,即c4=(a2-b2)2。

故(a2-b2+c2)(a2-b2-c2)=0,a2+c2=b2或b2+c2=a2,△ABC是直角三角形。

解法2：设△ABC外接圆的半径为R,由已知条件,应用正弦定理得:

2RsinAcosA+2RsinBcosB=2RsinCcosC。

故sin2A+sin2B=sin2C,sin2A+sin2B=-sin(2A+2B)。

整理得2sin(A+B)cos(A-B)=-2sin(A+B)cos(A+B)。

故2sinC·[cos(A+B)+cos(A-B)]=0,-2cosAcosB=0,A=△ABC是直角三角形。

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评注:已知三角形中的边角关系式,判断三角形的形状,有两条思考:①化边为角,再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式;②化角为边,再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式。

三、求三角函数的值

设BE=x,在△BDE中,利用余弦定理可得:

BD2=BE2+ED2-2BE·ED·cos∠BED。

评注:本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,同时也考查利用三角公式进行恒等变形。

四、解决有关面积问题

解：如图1,连接BD,则:

图1

因为A+C=180°,所以sinA=sinC。

在△ABD中,BD2=AB2+AD2-2AB·ADcosA=22+42-2×2×4cosA=20-16cosA。

在△CDB中,BD2=CB2+CD2-2CB·CDcosC=52-48cosC。故20-16cosA=52-48cosC,因cosC=-cosA,故64cosA=-32,即cosA=-,A=120°。

S四边形ABCD=16sin120°

评注:本小题考查三角函数的基础知识以及运用三角形面积公式及余弦定理解三角形,考查同学们运用知识分析问题、解决问题的能力。

五、解决实际应用问题

应用正弦定理和余弦定理解决应用问题时,应将已知元素和未知元素弄清楚,根据题意画出示意图,明确题目中的一些名词、术语的意义,如仰角、俯角、坡度、坡角、航海中的方位角等。

解：如图2建立坐标系以O为原点,正东方向为x轴正向。

图2

小结：大多数三角形中的变换问题都同时含有边和角,一般情况下都要考虑“边、角转换”,因此要准确判断是“边转换角”还是“角转换边”更为有利。有些三角形中的变换问题具有图形特点,因此可考虑寻求图形的帮助。

(责任编辑 徐利杰)