巧解绝对值之和最小值问题

■河南省郑州外国语新枫杨学校高三(25)班 周奕博

巧解绝对值之和最小值问题

■河南省郑州外国语新枫杨学校高三(25)班 周奕博

绝对值不等式是高中数学的一个重要内容,也是每年高考必考题目。特别求绝对值函数的最值是一个热点也是一个难点问题,这类问题要求有较强的逻辑推理能力、严谨的思维习惯,以及对分类讨论思想方法的正确把握。解决这类问题主要有三种方法:一是利用图像解题;二是利用三角不等式解题;三是利用几何性质解题。

一、引例

不等式|x-a|+|x-1|≤3有解,则参数a的取值范围为____。

解析：令f(x)=|x-a|+|x-1|,根据题目有解,问题可转化为:∃x∈A,使得f(x)≤m有解,等价于∃x∈A,f(x)min≤m。

f(x)是绝对值函数,可以利用绝对值几何性质求最小值,f(x)=|x-a|+|x-1|表示x到1和a距离之和,显然最小值在x处于1与a之间时取得,最小值为|a-1|,即|a-1|≤3,解得-2≤a≤4。

二、方法提炼与解题总结

对于含多个绝对值相加的函数,求其最小值我们可以用如下的结论:已知f(x)=|x-x1|+|x-x2|+…+|x-xn|(x1≤x2≤…≤xn),则:

这也意味着:将零点从小到大排列,f(x)的最小值在中间项的零点处取得。

解析：令f(x)=|2x-a|+|3x-2a|,则由题意可得∀x∈R,f(x)min≥a2恒成立。题目转化为求绝对值和形式的最小值。

但题目中的f(x)绝对值和的形式和前面结论有所差异,我们可以做如下变形:

解析：令f(x)=|2x+1|+|x-3|,根据题目解集非空,可转化为:∃x∈R,f(x)≤|a-1|成立,等价于f(x)min≤|a-1|。

那么,题目就是求解绝对值和的最小值。但题目中f(x)绝对值内的形式和前面结论有所不同,我们可以进行变形:

(责任编辑 徐利杰)