一个“碰撞”问题的3种解法

汪洁民 王曦雨

(1. 浙江省奉化中学,浙江 奉化 315500； 2. 宁波市四明中学，浙江 宁波 315040)

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一个“碰撞”问题的3种解法

汪洁民 王曦雨

(1. 浙江省奉化中学,浙江 奉化 315500； 2. 宁波市四明中学，浙江 宁波 315040)

本文通过对一道竞赛试题的3种解法的分析,不仅能深刻认识物理知识之间的相互联系,掌握竞赛题的解题技巧,还能通过对比分析选择相对简便的方法解决这类问题．

竞赛； 碰撞； 矢量三角形； 动量定理

在物理竞赛中,理想刚性绳绷直的问题属于非常典型的“碰撞”问题．而平面上的此类问题往往具有较大的难度,涉及到动量守恒、速度关联、动量定理等知识点,现以一道试题为例进行探析．

图1

解法1:速度矢量三角形

图2

当轻绳刚拉直时,由几何关系可以得到θ=30°(下同),滑块A速度由v0变为vA,速度增量沿绳方向,滑块B速度为vB,各速度矢量间关系如图2,其中vn表示A对B的转动速度(垂直于AB连线方向)．

沿槽方向系统动量守恒

mv0=mvB+mvAcosα.

(1)

又由两个三角形分别利用正弦定理有

(2)

(3)

解后思考:这是一个平面上的有绳子约束的“碰撞”问题,这种解法先利用水平方向的动量守恒得出(1)式,再利用相对运动和速度改变情况画出两个矢量三角形,通过解三角形解出速度．这种方法的物理思路相对比较简单,但对数学计算以及三角函数应用的要求比较高,不推荐将这样一道物理问题以数学化的方式解决．在实战中,很少有学生想到应用这种方法,而是会采取另外一种策略．

图3

解法2:平面碰撞巧分解

轻绳刚拉直时,滑块A速度由v0变为水平方向的vA1和竖直方向的vA2．

沿槽方向系统动量守恒

mv0=mvB+mvA1.

(1)

沿绳方向两滑块分速度相等

vBcosθ=vA1cosθ-vA2sinθ.

(2)

对于滑块A,绷直瞬间受到绳子的拉力是沿绳子方向的,所以在垂直于绳子方向上的分速度不变,则有

v0sinθ=vA1sinθ+vA2cosθ.

(3)

由(1)～(3)式得

解后思考:这是解决这个问题的最为普遍的一种方法．学生在解题过程中,(1)、(2)这两个方程很容易列出,但是(3)式往往很难想到,自然也成为这道题目解决过程中最大的一个难点．而造成这个困难的根本原因在于,此次“碰撞”是发生在二维空间的,(1)式运用了水平方向动量守恒,垂直于槽方向动量并不守恒,所以这次“碰撞”的条件没有被充分利用起来,就需要(3)式进行补充才能解决．那么有没有更加通用的方法解决该类问题呢?

图4

解法3:动量定理解决平面碰撞问题

轻绳刚拉直时,滑块A受到一个沿绳子方向的冲量I,动量变为mvA,沿绳方向分速度为v绳．滑块B同时受到一个等大反向的冲量I′,以及垂直于槽支持力的冲量IFN．

对滑块B使用水平方向的动量定理

Icosθ=mvB.

(1)

对滑块A使用沿绳方向的动量定理

-I=mv绳-mv0cosθ.

(2)

沿绳方向两滑块分速度相等

v绳=vBcosθ.

(3)

解后思考:在教学中,利用动量守恒定律解决碰撞问题已经成为最为普遍的思想方法．而合理的使用动量定理,能够更加完整地保留“碰撞”过程中的有效信息,减少不必要的未知量和方程数量,使解题过程事半功倍．

总之,以上的3种解法从不同的切入点对问题进行解析．而利用动量定理解决平面上的碰撞问题具有解决此类问题的普遍性．这种方法在自主招生和竞赛中非常实用,值得推荐与学习．

1 沈晨.更高更妙的物理:冲刺全国高中物理竞赛[M]. 杭州:浙江大学出版社,2012.

2017-06-11)