“有理数”数学思想面面观

陆 晔

“有理数”数学思想面面观

陆 晔

“有理数”这章内容包括有理数的基本概念、有理数的运算以及有理数的混合运算，是初中数学学习的基础.在本章学习过程中，蕴含着大量的数学思想，对于同学们良好数学素养的形成具有积极促进作用.现举例说明如下：

一、在理解有理数的概念、比较其大小时，感受“数形结合”的思想

数学是研究“数”和“形”的一门学科，从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起来.运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，能够起到以“形”助“数”的作用.我国数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离.”

例1（2017·株洲）如图，数轴上点A所表示的数的绝对值为（）.

A.2B.-2

C.±2D.以上均不对

剖析：根据绝对值的几何意义，一个数的绝对值表示这个数的点到原点的距离.因此，借助于数轴可以知道：数轴上点A到原点的距离为2，因此，数轴上点A所表示的数的绝对值为2.

解：本题选A.

例2（2017·丽水）在数1，0，-1，-2中，最大的数是（）.

A.-2B.-1C.0D.1

剖析：根据“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的大”，我们可以将这四个数分别在数轴上表示出来，从左到右依次为-2、-1、0、1，因此，这四个数中最大的数是1.

解：本题选D.

例3已知a＜b＜0，试比较a，-a，b，-b的大小.

剖析：根据已知条件，将a，-a，b，-b四个数在数轴上表示出来，再根据在数轴上右边的数总大于左边的数，可比较出它们的大小.

解：因为a与-a，b与-b互为相反数，又a＜b＜0，所以四个数在数轴上表示如图所示：

根据在数轴上，右边的数总大于左边的数，可得它们的大小关系为：a＜b＜-b＜-a.

二、在利用有理数的概念和有理数运算法则过程中，感受“分类讨论”的思想

当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种相应的结论，这种处理问题的思维方法称为分类思想.本章在研究相反数、绝对值、有理数的加法法则、乘法法则、乘方运算的符号法则等时，都较好地体现了“分类讨论”的思想.

例4在数轴上，与表示数-5的点的距离是2的点表示的数是（）.

A.-3B.-7C.±3D.-3或-7

剖析：分析题意，可以发现符合条件的点有两个：一个在表示-5的点的左边，另一个在表示-5的点的右边，且它们到表示-5的点的距离都等于2，因此，符合条件的点表示的数分别为-3或-7.

解：本题选D.

例5若a2=4，b2=9，且ab＜0，则a-b的值为.

剖析：根据有理数平方的意义，可以分别确定字母a与b的值，再根据a、b之积为负数即可确定a、b异号，从而可以确定字母a与b可能的值，进而求得a-b的值.

解：因为a2=4，b2=9，所以a=±2，b=±3.因为ab＜0，所以当a=2时，b=-3，a-b=2-（-3）=2+ 3=5；当a=-2时，b=3，a-b=-2-3=-5，所以，a-b的值为5或-5.本题填：5或-5.

剖析：因为abc＜0，所以负因数的个数可能是1个或3个.再根据条件“a+b+c＞0”，所以有理数a，b，c中至少有1个正数，所以符合条件的只有一种情况：其中一个为负数，其余两个为正数，分为以下三种情况：①当a＜0时，b＞0，c＞0，原式=-1+1+1-1=0；②当b＜0时，a＞0，c＞0，原式=1-1+1-1=0；③当c＜0时，a＞0，b＞0，原式=1+1-1-1=0.

解：本题填0.

三、在运用有理数的减法、有理数的除法法则中，感受“转化”的思想

将所要研究和解决的问题变为已经学过的问题来处理的数学思想称为转化思想，它是一种研究和解决数学问题的基本思想.如在有理数加法的基础上，利用相反数的概念将减法运算转化为加法运算——减去一个数等于加上这个数的相反数，从而使加、减法得到统一；又如在有理数乘法的基础上，利用倒数概念将除法运算转化为乘法运算——除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数，从而使乘、除法得到统一等.可见，转化思想是解决问题、获得新知识的重要数学思想.

例7冬季某天测得的最低气温是-6℃，最高气温是5℃，则当日温差是℃.

剖析：根据题意，列出算式为5-（-6），再根据有理数减法运算转化为加法运算，可得结果.

解：5-（-6）=5+6=11（℃）.本题应该填：11.例8计算：（-81）÷

剖析：这是一道只含有乘除运算的计算题.计算时，需要按照从左到右的顺序进行，对于其中的除法则按照除法运算法则，将其转化为乘法运算.

（作者单位：江苏省扬州市邗江区实验学校）

责任编辑：沈红艳 E-mail：czsshy@126.com