与圆有关的中考压轴题

安娜

与圆有关的中考压轴题

安娜

中考压轴题具有选拔性的功能，因而问题往往综合性强，难度大，对解题方法、技巧要求高.近年来，中考压轴题大多由二次函数、圆、方程、三角函数等内容综合而成.本文主要从以下几点透视近几年的中考数学题中圆的相关计算与证明，为迎战中考打下坚实的基础.

一、圆的基本性质

例1（2016·连云港）如图1，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10=______°.

图1

图2

【解析】如图2，设正十二边形的外接圆的圆心为O，连接A10O和A3O，

∴∠A3OA10=×360∘=150∘，

∴∠A3A7A10=75°，故答案为75°.

【点评】本题主要考查了正多边形及其外接圆的性质和圆周角定理，做出适当的辅助线，还考查了数形结合思想.

例2（2014·南通）如图3，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB.

（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；

（2）若∠M=∠D，求∠D的度数.

图3

【解析】（1）∵AB⊥CD，AB为⊙O的直径，CD=16，∴CE=DE=8，设OB=x，又∵BE=4，∴OE=x-4，在Rt△OED中，∴x2=（x-4）2+82，解得：x=10，∴⊙O的直径是20.

（2）∵∠M=∠BOD，∠M=∠D，

∴∠D=∠BOD，∵AB⊥CD，

∴∠D+∠DOB=90°，∴∠D=30°.

【点评】本题主要考查垂径定理及其推论，属于中考题中的高频题.

二、与圆有关的位置关系

例3（2016·连云港）如图4，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位）选取9个格点（格线的交点称为格点）.如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（）.

图4

【解析】如图5，∵AD=2 2，AE=AF=，∴AB＞AE＞AD.

图5

∴当17＜r＜3 2时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，故选B.

【点评】本题主要考查点与圆有关的位置关系、勾股定理等知识，考查分析能力，画图、用图能力，难度中等.

例4（2016·扬州）如图6，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边BC于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点D，且ED⊥AC.

（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）如图7，若线段AB、DE的延长线交于点F，∠C=75°，CD=2-3，求⊙O的半径和BF的长.

图6

图7

【解析】（1）△ABC为等腰三角形.

理由：如图8，连接OE，在⊙O中，OE=OB，

图8

∴∠OEB=∠OBE，

∵DE是⊙O的切线，

∴∠OED=90°，

∵ED⊥AC，

∴∠ADE=90°，

∴∠ADE=∠OED=90°，

∴OE∥AC，

∴∠OEB=∠C，

∵∠OEB=∠B，

∴∠B=∠C，∴AC=AB，

∴△ABC为等腰三角形.

（2）如图9，过点B作BH⊥DF，连接OE，

图9

∵AC⊥DF，∴BH∥AC，∠EBH=∠C，

由（1）知∠CDE=∠BHE=90°，BE=CE，

∴△CDE≌△BHE（AAS），

∴CD=BH=2-3，

∵∠HBF=180°-∠OBE-∠EBH=180°-75°-75°=30°，

∴∠F=90°-30°=60°，

在Rt△BFH中，BF=

设OE=x，在Rt△OEF中，sin60，解得x=2，

故⊙O的半径为2，BF的长为

【点评】本题以三角形与圆为背景，考查了切线的性质.由定理可知，若出现圆的切线，必连接过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系，简记为：见切点，连半径，现垂直.其中锐角三角函数的知识将在以后的章节中学习.

三、与圆有关的计算

例5（2016·连云港）如图10，⊙P的半径为5，A、B是圆上任意两点，且AB=6，以AB为边作正方形ABCD（点D、P在直线AB两侧）.若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的面积为_______.

图10

【解析】如图11，连接PA，PD，过点P作PE垂直AB于点E，延长PE交CD于点F.

图11

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB∥CD，AB=BC=6，

又∵PE⊥AB，∴PF⊥CD，

∴EF=BC=6，DF=AE=3，

PF=PE+EF=4+6=10.

在Rt△PFD中，PF=10，DF=3，∠PFD=90°，

∵若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的圆形为以PF为内圆半径、以PD为外圆半径的圆环，

∴S=π∙PD2-π∙PF2=109π-100π=9π.

【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、平行线的性质以及圆环的面积求法，解题的关键是分析出CD边扫过的区域的形状.

（作者单位：江苏省连云港市海州实验中学）