例说“一元二次方程”在中考中的应用

程军

例说“一元二次方程”在中考中的应用

程军

一元二次方程是初中数学的重要内容，它与一元一次方程和后继学习的二次函数关系密切，承上启下.它应用较多的是解方程、根的判别式、根与系数的关系.而在一元二次方程的应用中，主要有百分率、面积、利润问题等三大类型，在中考中历来是热点.

一、与一元二次方程相关的概念问题

1.一元二次方程和根的判别式.

一元二次方程的一般式为：

ax2+bx+c=0（a≠0），根的判别式为：Δ=b2-4ac.

例1（2016·聊城）如果关于x的一元二次方程kx2-3x-1=0有两个不相等的实根，那么k的取值范围是_______.

【解题策略】计算根的判别式当然重要，它是一元二次方程特有的“好朋友”，是判别方程有无根的制胜法宝.但同学们别忽视一个大前提，就是首先保证它是一元二次方程，即a≠0.

【解题思路】先观察二次项系数，令k≠0；再算Δ=9+4k＞0，答案为k＞-且k≠0.

【解后反思】利用根的判别式时一定要保证它是一元二次方程，碰到这类题，先看二次项系数a，再考虑根的判别式，然后考虑其他，思考顺序不能错.

2.一元二次方程和根与系数的关系.

若ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则x1+

例2（2014·烟台）关于x的方程x2-ax+2a=0的两个根的平方和是5，则a的值是（）.

A.-1或5B.1C.5D.-1

【解题策略】这类问题，同学们经常只看重两根和与两根积这两个表达式，而忽视了根的判别式，请同学们回上去阅读根与系数关系的完整表达.

【解题思路】先保证方程有实根，

即Δ≥0，即a2-8a≥0，

再考虑，x1+x2=a，x1·x2=2a，

a2-4a-5=0，a1=5，a2=-1，

后检验，a=5不合题意，所以a=-1.

【解后反思】解这类题（根与系数关系）要注重问题的思考顺序：①二次项系数a≠0，②Δ的正与负，

二、与一元二次方程相关的应用问题

1.一元二次方程与百分数问题.

例3（2015·长沙）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件.现假定该公司每月的投递总件数的增长率相同：（1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？

【解题策略】理解清楚增长率的含义，它必有基数，例如4月份增长率，它的基数就是3月份的快件量10万，5月份增长率就是相对4月份来说的，基数是4月份的快件数量.当我们清楚题意后，列出代数式，由于是算月平均增长率，故每个月比上月增长的百分数相同，可设这个百分数为x，先列出4月的快件数量，再列出5月的快件数量.

【解题思路】（1）先设月平均增长率为x（或月平均增长的百分数为x），

依题意，4月份快件数量10（1+x），5月份快件数量10（1+x）（1+x），

再列方程10（1+x）2=12.1，解方程并检验. x1=0.1，x2=-2.1（不合题意，舍去）.

（2）6月：按照10%的增长率，6月的快件数量为12.1×（1+10%）=13.31，而21人每月最多的完成量为21×0.6=12.6＜13.31，所以至少还需增加（13.31-12.6）÷0.6≈2（人）.

【解后反思】百分率问题在一元二次方程中的正确运用，关键是要弄清楚增长率（下降率）的含义.

一般地，对于平均增长率问题，设原来数量为a，经过两次增长后数量变为b，若这两次的平均增长率为x，则b=a（1+x）2，这里的a就是基数；若这两次的平均下降率为x，则b= a（1-x）2；若经过n次增长后数量变为b，若这n次的平均增长率为x，则b=a（1+x）n.请读者自己体悟.

2.一元二次方程与面积问题.

例4（2016·包头）一幅长20cm、宽12cm的图案，如图1，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3∶2.设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2.

（1）求y与x之间的函数关系式；

图1

图2

【解题思路】观察图形，先表示y与x的函数关系式y=-3x2+54x，再列出方程，-3x2+54x=×20×12，整理，得：x2-18x+32=0，解得：x1=2，x2=16，检验，因为当x=16时x=24＞12（不合题意，舍去），再作答.

【解后反思】本题有两个易错点，一个是如何表示阴影部分面积，另一个是要检验.一般列出一元二次方程后，解出结果有两个，若出现负数，舍去，但若出现两个均为正，则应回到题中，检验其是否符合题意，根据题情取舍.

3.一元二次方程与利润问题.

例5（2014·巴中）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元.经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个.因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？

【解题策略】本题有两问，设销量好还是设定价好？依据题意，设定价，列出销量的代数式，是顺向思维，例如设每个商品的定价是x元，则销售量为180-10（x-52）；若设销量x个，则定价为-40.后者烦琐.

【解题思路】先设每个商品的定价是x元，列出销量代数式为180-10（x-52）；再依据题意，列出方程（x-40）［180-10（x-52）］=2000；

再整理，得x2-110x+3000=0，解得x1=50，x2=60.后检验：当x=50时，进货180-10（50-52）=200（个）＞180（个），不符合题意，舍去；当x=60时，进货180-10（60-52）=100（个）＜180（个），符合题意.最后作答.

【解后反思】本题是一元二次方程的应用，值得同学们注意的地方有两个，一是列出定价和销量的代数式；二是要检验，看结果是否符合题意.检验是解一元二次方程应用题的必要步骤.

（作者单位：江苏省无锡市港下中学）