求小振动周期应注意的一个近似处理

朱远稼 李 力

(重庆市清华中学 重庆 400054)

求小振动周期应注意的一个近似处理

朱远稼 李 力

(重庆市清华中学 重庆 400054)

计算力学体系小振动的周期，是物理竞赛中常见的问题.文献[1，2] 分别用动力学法和能量法讨论如下“可动悬点摆”的周期：如图1所示，质量为m的小环套在固定水平光滑杆上，小环又通过长为l的轻绳与质量为M的小球连接，证明此体系在小角度下的运动是谐运动，并求其周期.

图1

更简捷、更程序化的推导方法是用分析力学的拉格朗日方程[3]求解：设广义坐标为m沿水平杆运动的坐标x和M摆动的角度θ，则

xM=x+lsinθ

yM=lcosθ

求得体系的动能为

以水平杆为势能零平面，则体系势能为

V=-Mglcosθ

所以体系的拉格朗日函数为

L=T-V=

代入拉格朗日方程

整理得

(1)

(2)

在小角度条件下简化微分方程的这个近似处理用得很多，例如文献[6]研究的竞赛题.

如图2所示，一个质量为M的槽放在水平光滑地面上，一个质量为m，摆长为l的摆球放在槽内带动槽在水平面内小角度振动，球直径恰等于槽左右壁距离，且摆球在最低点时也不和槽底接触，槽内壁光滑，求这个系统的振动周期.

图2 竞赛题题图

文献[6]用了4种方法，下面我们另用拉格朗日方程求解：设广义坐标为θ，则

体系动能

势能

V=-mglcosθ

拉氏函数

代入拉氏方程

整理后有

微分方程可简化为

解得

同文献[6]的结果是一致的.

从上述两个题目的研究可以发现，小角度条件下简化微分方程的这个近似处理很重要，同时也看到分析力学处理问题的优越性——简捷而程序化.当然，分析力学最重要的地方不在于此，而是对经典物理和近代物理提供统一的表达形式，它是通向量子力学、统计力学、量子场论等领域的必经之路.

1 韩娟,郑修林,李春梅.探讨无固定悬挂点单摆的周期.物理通报,2009(4):2～5

2 李力.用能量法简捷推导可动悬点单摆的谐运动周期.物理通报,2012(9):129

3 梁昆淼，原著,鞠国兴,施毅，修订.力学(下册)理论力学(第4版).北京:高等教育出版社,2012.61～65

4 熊志权.物理原来不能这样考.成都:西南交通大学出版社,2012.51～52

5 《数学手册》编写组.数学手册.北京:人民教育出版社,1981.226

6 柯尧.赏析一道求振动周期的竞赛题的多种解法.物理教师,2016(10):92～93

2017-01-08)