探究均匀带电直线和圆弧产生电场的关系

郑 金

(凌源市职教中心 辽宁 朝阳 122500)

探究均匀带电直线和圆弧产生电场的关系

郑 金

(凌源市职教中心 辽宁 朝阳 122500)

利用微元法和对应性推证了均匀带电直线与均匀带电圆弧产生的电场等效；利用微元法和对称性推导了均匀带电圆弧在圆心的场强公式；利用结论巧妙解答有关线性带电体的场强计算问题.

带电直线 带电圆弧 电荷线密度 场强

均匀带电直线产生的电场与均匀带电圆弧产生的电场在一定条件下是等效的，由此可将直线带电体转化为圆弧带电体，利用这种等效法解答某些线性带电体的场强问题，可化繁为简.

1 均匀带电线段产生的电场

【例1】如图1所示，平面上有一段长度为l的均匀带电直线AB，在该平面内取直角坐标系xOy，原点O为AB中点，AB沿x轴，

(1)试证明该平面上任一点P的电场方向沿∠APB的角平分线；

(2)试证明该平面上的电场线为一簇双曲线；

(3)试求该平面上的等势线方程.

图1 例1题图

图2 局部放大图

随着P点位置不同，a可取一系列不同的值.

2 均匀带电圆弧产生的电场

【例2】若正电荷Q均匀分布在半径为R，圆心角为2α的圆弧上，则圆心处的场强为多大？

解析：以对称轴为坐标轴建立如图3所示的直角坐标系.

图3 例2题图

由对称性可知，圆心处的场强沿x轴方向.取一小段圆弧Δs，则电荷量为

ΔQ=λΔs

所以各场强分量的叠加为合场强

由对称性可知∑Δy=2Rsinα，因此，有

这是圆心角为2α的均匀带电圆弧在圆心产生的场强公式.

在上述推导过程中综合利用了微元法、叠加法、分解法和对称性.

3 均匀带电直线和圆弧产生电场的关系

【例3】如图4所示，一直线AB均匀带电，电荷线密度为λ，过其一端B做垂线，垂线上的P点到带电直线的距离为R；以P点为圆心的弧线A′B与直线相切于B点，均匀带电，电荷线密度也为λ，求证：均匀带电直线AB在P点产生的场强与均匀带电圆弧A′B在圆心产生的场强相等.

图4 例3题图

磁场方向沿P点对角线的平分线方向.

这表明，只要均匀带电直线一端与均匀带电圆弧一端相切重合，另一端位于同一半径所在的直线上，即直线与圆弧对圆心的张角相等，那么任意画一个圆心角所截取的两部分带电体在圆心产生电场的强度相同.所以从整体角度而言，均匀带电直线AB在P点产生电场的强度与均匀带电圆弧A′B在圆心产生电场的强度大小相等，方向相同.

回顾例1，图2相当于图4的一部分，如图5所示，但其中直线的延长线与圆弧的延长线仍然相切与点D，这是结论成立的前提条件.另一方面，对于两道例题的解答方法是相似的而且是统一的.

图5 图2与图4对比图

结论2：以直角三角形的一个锐角顶点为圆心，以所在直角边为半径在三角形内画圆弧与另一直角边相切于直角顶点，若圆弧与相切的直角边均匀带电且电荷线密度相同，则任意一个圆心角所截取的圆弧和线段分别在圆心产生电场的场强大小相等，方向相同.

由图4可知，四分之一圆周对应一条射线，而半圆周对应一条无限长直线.

利用上述结论解答有关问题简便快捷，下面举例分析.

【例4】如图6所示，长直线与圆弧相切，若直线和圆弧上的电荷均匀分布，电荷线密度为λ，圆弧半径为R，求圆心处的场强.

图6 例4题图

图7 图6的等效图

该题与第五届全国中学生物理竞赛预赛试题中的第8题相似.

图8 例5题图

图9 分析场强矢量示意图

总之，对于均匀带电的直线和圆弧产生的电场在某种条件下是等效的，均匀带电的直线可转化为均匀带电的圆弧，利用均匀带电圆弧的场强公式和对称性，对有关线性带电体的场强问题可迎刃而解.

1 沈晨.静电场：原理与方法.中学物理教学参考，2005(3)：19，56

2016-05-06)