对集合论的辩证思考

赵雁 乐山职业技术学院

对集合论的辩证思考

赵雁 乐山职业技术学院

集合论被认为是20世纪伟大的数学创造，它在近代数学中有重要的地位。从集合的一些基本常识，认识一下初等数学“朴素集合论”的理论基础是不够严密的。从哲学高度来看，对集合论作历史观察，可以帮助我们有更多的思考。

无限集 集合论 公理化

1 无限集之谜

什么是无限集：就是含有无限个元素的集合。无限与无限集不只是数学的课题，同时也是哲学的问题。并长期困扰着哲学家与数学家。它的定义十分简单、明确。但对“无限”的认识哲学家走在数学家的前面。古希腊哲学家亚里斯多德对“无限”早有许多论述。他说：“一个量具有无限可分性”，“时间也是无限的”…。而无限集是否能作为一个固定的、实在的整体而存在，还无法肯定。

任意两条不相等线段的点都可以构成一一对应，只要把一条线段简单地投射到另一条线段上即能实现。这两条线段应含有同样多的点，然而一条线段确实比另一条线段长，从而看起来比另一线段要有更多的点。它是十七世纪的科学家伽里略在他的《两门新学科》书中指出的。同时他还指出，正整数的集合可以同其平方数的集合成一一对应两者的元素应该一样多。但是后者明显是前者的一部分，“部分应该小于整体”。要避免这种怪事产生，就不应该把无限集作为真实的存在。

时间一直到十九世纪，多位大数学家站出来反对，数学家高斯认为：“反对把无限量作为实体，因为在数学中是从来不允许的。无限只不过是用来讲极限的一种说话方式”。与高斯同时代的数学家柯西，也不承认无限集的存在。他认为部分同整体构成一一对应是自相矛盾的事。

哲学家波尔查诺在他的《无穷的悖论》一书中强调：“一个无限集可以同自身的真子集构成一一对应”。但同时他也无法解释这样的事实，就是“整体大于部分”这一公理间的矛盾。他是第一个站出来维护无限集是真实存在的人。自然没有坚持到底，也未能揭开无限之谜。

2 集合论创立

集合论是关于无限与无限集的数学理论。首先打开“无限王国”大门的人是哲人科学家——乔治．康托尔。1846年3月3日，乔治．康托尔生于俄国的一个丹麦—犹太血统的家庭。他于1895年和1897年先后发表了《集合论》、《集合论基础》等两篇著名的论文。他用集合作为基本概念，并引进了它们的符号；规定了它们的加法、乘法和乘方等。从而开创了崭新的数学领域——集合论。

康托尔揭示了无限集与有限集的本质区别：无限集可以与自身的真子集成一一对应，而有限集则不行。进而给出了无限集的定义：“如果一集合能与自身的真子集成一一对应，这集合就叫做无限集，否则就叫有限集。他认为欧几里德所提出的公理“整体大于部分”并非绝对真理，它只适用于有限集；对于无限集而言“部分可以等于整体”。

康托尔用一一对应的方法将无限集进行分类，并且考察无限集中元素的“个数”。在康托尔的研究工作之前，人们对各种无限集是不加区分的，把各种无限集都说成：“含有无限多个元素”。

康托尔的集合论最终被人们誉为是人类思想史上一个重要里程碑。在1900年，著名哲学家、数学家彭加勒在国际数学家大会上宣布：“由于有了集合论，数学的严格性已经达到了”。不过，康托尔的集合论并未达到无懈可击，康托尔自己及与他同时代的一些哲学家、数学家们已发现在康托尔的集合论中有互相矛盾的命题——集合论悖论，当时影响最大的是英国哲学家罗素发现的悖论。

罗素注意到，按照康托尔的集合论，集合可分为两类：一类是“不属于自身的集”，另一类是“属于自身的集”。他注意那些“不属于自身的集”，把它们集中起来构成一个新集合S。即S={A|A∈A}。

S是所有那些“不属于自身的集”的全体组成之集。并进一步考察：集合S是否属于自身？

如果S∈S．则由S的定义，得知S不属于自身，亦即S∈S，矛盾；但是，如果S∈S。则由于S不属于自身，由S的定义可知S属于S，亦即S∈S。又矛盾。

因此，矛盾不可避免，集合论中含有悖论，表明康托尔的理论还未达到完美的程度。

3 集合论的发展

追究矛盾的起因，人们发现各种集合论悖论都涉及到一些共同的概念：“所有”或“全体”；矛盾的焦点都集中在一些大而全的集合上。罗素说，“要定义的对象是用包含着这对象自身在内的一类对象来定义的”。犯有恶性循环的错误。为此，康托尔自己也提出，要想排除集合论中的悖论，就要排除大而全的集合，但他自己未能找到令人满意的方案。那么，那些大而全的集合算不算集合呢？必须依据康托尔的集合定义判断。康托尔说：“我们的直觉或者我们思考的确定的不同的对象的全体叫做集合”。他用描述元素性质的办法定义集合。康托尔的集合概念及其基本运算原则都是建立在人们直觉的基础上，其基本思想是极为朴素的，因此人们把康托尔的集合论称为朴素的集合论。

只凭直觉的认识往往是有局限性的，这决定了朴素集合论中会藏有隐患，根据康托尔的概括原则必须承认那些大而全的集合是集合。可见，问题的症结在于概括原则。人们发现，利用康托尔的概括原则造集，条件太宽松，所得到的集合太广泛。为了消除集合论的悖论，就必须对康托尔造集的办法加以改造。一方面要保留朴素集合论中一切有价值的东西，同时又要对集合加以限制，以便排除某些不适当的“集合”。

为此，德国数学家蔡梅罗首先提出了集合论的公理化方案：他把集合论改造为一个完全抽象的公理化理论。不把集合简单看成一些“集团”、“全体”、“总体”，而是满足诸公理条件的对象。在满足这些公理之后，一些不适当的“集合”，特别是那些大而全的集合就不能作为集合。现在数学里排除“A∈A”这种写法，就是渗透了公理化集合论的思想。

众所周知，对于任何公理系统都应证明无矛盾性。“只要世界上还存在着数学家，创新就不会停止”。正所谓：“为了防备狼，羊群已用篱笆墙圈起来了，可是，却不知道墙内是不是早已藏有狼？”，因此，集合论悖论至今还是哲学家、数学家们关心的问题。

[1]А.Д亚历山大洛夫.数学（内容、方法和意义）[M].北京科学出版社1984

[2]李文林.数学史教程[M].高等教育出版社,2002.8

[3]梅荣照.明清数学史论文集[C].南京:江苏教育出版社1990.05

[4](英)斯科特著;数学史[M].侯德润,张兰译.桂林:广西师大出版社2008.12

[5]冯菊英.关于数学史教学的意义和设计[J].北京：《数学通报》2004.11