高储能密度电感的设计

李 臻 于歆杰

（清华大学电机系 电力系统及发电设备安全控制和仿真国家重点实验室 北京 100084）

高储能密度电感的设计

李 臻 于歆杰

（清华大学电机系 电力系统及发电设备安全控制和仿真国家重点实验室 北京 100084）

电感作为电感储能型脉冲电源的核心元件，其结构及参数直接影响脉冲电源的性能指标。电感设计的关键环节是获得最高的储能密度，Brooks线圈等高品质因数电感虽然具有高储能密度，但是由于在计算电感储能密度时，电感体积的计算方法不同，导致由给定材料绕制的Brooks线圈并不一定具有最高的储能密度。本文电感设计时基于空心平面螺旋型线圈，通过分析给定范围内的线圈参数，计算并寻找具有最高储能密度的电感。通过实验验证了该方法的准确性。最后，比较了该方法的寻优结果与Brooks线圈参数，验证了该方法在寻找高储能密度电感方面的优势。

电感 储能密度 Brooks线圈 空心平面螺旋型线圈

0 引言

电感储能型脉冲电源（Inductive Pulse Power Supplies, IPPS）由于具有相对较高的储能密度和易于冷却等特点而成为近期研究的热点。电感作为电感储能型脉冲电源的核心元件，调节电感的结构参数，使其获得最高的储能密度是电感设计的关键环节，具有重要的研究价值。德法联合实验室和德克萨斯州立大学的先进技术研究所等研究机构采用Brooks线圈在电感储能型脉冲电源设计和实现方面取得了一定进展，分别提出了XRAM和STRETCH Meat Grinder两种典型拓扑。其中，XRAM中的电感是多个相互独立的电感[1-3]，STRETCH Meat Grinder中的电感是一组具有高耦合系数的电感[4-6]。国内的科研机构公开发表的论文中，也基本采用类似Brooks线圈结构[7,8]。

将Brooks线圈[9,10]应用于电感储能型脉冲电源并不是一种最优的选择。主要原因在于Brooks线圈计算电感储能密度时，电感体积未考虑空心电感所包绕的空气的体积。在IPPS领域，计算电感的储能密度时电感的体积一般是包含其所包绕的空气的体积的。本文认为，电感设计时应基于空心平面螺旋型线圈，在计算电感储能密度时考虑其所包含空气的体积，通过编程计算线圈参数，进而获得具有最高储能密度的电感。该方法所获得的电感较Brooks线圈具有更高的储能密度，并且该方法的应用不仅局限于IPPS，对所有考虑电感所包绕体积情况下寻找最高电感储能密度的场合都适用。

本文首先分析了Brooks线圈计算储能密度的方法，强调Brooks线圈并不一定具有最高的储能密度；然后以空心平面螺旋线型线圈（Air-core Flat Spirals of Strip Coils, AFSSC）为基础，编写了由电感结构参数计算总电感的程序。在电感结构参数改变的情况下，计算出相应的储能密度，并寻找可获得最高储能密度的电感结构参数；之后搭建了用于STRETCH（slow transfer of energy through capacitive hybrid）meat grinder[2]电路实验的实物电感，通过实物电感的测量值验证了程序的计算结果，最后将程序优化的电感结构参数与按照Brooks线圈形式设计的电感结构参照进行了比较。

1 Brooks线圈储能密度的计算方法

Brooks线圈[9]是对给定长度粗细均匀的导线，绕制出最大电感值的一种最优结构。由其定义可以看出，Brooks线圈是对于给定材料下，绕制出最高品质因数Q的一种优化结构。

文献[11]研究了品质因数与线圈尺寸参数的关系，但未阐明品质因数与线圈储能密度的关系。品质因数Q的经典定义为[12]

对于电感来说，由式（1）可看出，品质因数表征的是电感储存能量与消耗能量的关系，品质因数越高，电感存储的能量越高，或消耗的能量越少。

式中，ω 为角速度；L为电感；RL为电感阻值。

由式（1）和式（2）可知，品质因数是在系统为交流稳态的情况下定义的。而电磁发射领域中的脉冲电源，其电流波形是非周期性的脉冲电流。因此，对于脉冲电源中的电感，应用品质因数的概念时，最好采用L/RL值。

空心平面螺旋型线圈如图1所示（对于其他线型绕制的电感，如圆形线，以下推论同样成立。但由于用其他线型绕制电感时，匝间的间隙更大，影响电感的耦合系数，因此本文未作讨论），其电感储能密度为

其中

式中，μ 为储能密度；I为电感最大允许通过的电流；V为体积；J为电流密度，是常数；S为单匝横截面积；l为整个螺旋线圈的长度。电感阻值RL计算式为

式中，ρr为电阻率，是常数。

图1 空心平面螺旋线型线圈Fig.1 Air-core flat spirals of spiral coil

比较式（2）和式（7），由于J、ρr是常数，同时忽略ω，则Q正比于储能密度μ，或者说二者都正比于L/RL。

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然而，在电感储能型脉冲电源领域，更关心的是电感所“占用”的空间。因此，计算电感的储能密度时，要同时计算电感线圈所包绕的空气体积。而式（5）只计算了电感材料的体积。因此，虽然Q正比于某种材料体积计算方法下的储能密度μ，但由于此储能密度计算方法不是脉冲电源领域的计算方法，将此结论直接应用于脉冲电源领域是不准确的。

由于Brooks线圈在计算体积时未考虑线圈所包绕的空气体积，不符合IPPS领域对电感线圈体积计算的要求，直接将Brooks线圈应用于电感储能型脉冲电源领域是不准确的。

2 基于AFSSC的电感设计方法

用于脉冲电源中电感的设计目标是使电感获得最大的储能密度。由式（3）可见，在给定总电感Ltotal和最大电流I的情况下，只需遍历电感的参数，计算并寻找其体积最小者即可。电感的参数分为结构参数和电参数。结构参数包括内直径d、外直径D、匝数n、单层厚度h、匝宽w、匝间距dturns、层间距dlayers及整个电感的高度htotal、体积V等，前五个结构参数已在图1中标明。如果d、D、n和dturns是给定的，则匝宽w可以确定，即

同样，在给定图1所示的单片线圈的电流I的情况下，取一个合适的电流密度J，则可以计算出每匝线圈的截面积S，进而结合匝宽w可以算出单层厚度h。综合起来，如果给定了流过线圈的电流I和线圈的J、d、D、n和dturns等参数，可以推算出w和h。h和相邻两片AFSSC间的距离dlayers（由绝缘纸的厚度决定）用于计算最终电感的高度htotal，进而结合外径计算电感的体积（体积包含线圈中间的空心部分）为

电感的电参数包括单片AFSSC的电感Lsingle、电阻Rsingle、总电感Ltotal、总电阻Rtotal、电流密度J、耦合系数k等。

确定了AFSSC的结构参数之后，可由文献[14]中的“平面圆盘形线圈的电感”和“两个相同的平面线圈的互感”计算公式，计算出单片AFSSC的电感Lsingle和两片任意距离AFSSC之间的互感，进而计算出两片AFSSC串联后的电感L。电阻Rsingle可以由电阻计算公式得到。

综上，首先根据工程需要，给定总电感Ltotal和充电电流I；然后在指定了参数内径d、外径D和匝数n）范围的情况下（其余参数J、dturns和dlayers根据经验指定），根据实际需要设定（d、D、n）在给定范围内的取点数，一般情况下，d、D各取100个点，n取其范围内的所有整数点；最后，通过编程计算，搜索所有d、D、n可能的取值，并对结果进行比较，可得到满足给定条件具有最小体积的电感的内径、外径和匝数，进而算出最高储能密度和电阻。

为简化计算，文中约定所给定的充电电流完全由单片AFSSC或由其串联后承担，即没有并联电感（关于如何用并联AFSSC提高通流，以及相关的电感和电阻计算，将另行撰文讨论）。当然，为了使设计的电感参数符合实际，还需要设定约束条件，如每匝最小宽度等。电感设计程序流程如图2所示，图中将空心平面螺旋线型线圈简称线圈。

图2 电感设计程序流程Fig.2 Flow chart of inductor design program

编程时，如果计算出的L超过给定值的1.05倍，则停止程序，并给当前的体积值一个惩罚值（相对大的值），认为当前搜索参数d、D、n失效；如果计算出的L在给定值的0.95～1.05范围内，即认为当前搜索参数d、D、n是可取的，该组参数即被储存下来用于挑选最小体积。

按照此方法设计的电感，不仅可以应用于XRAM拓扑[1]，还可应用于其他考虑电感所包绕体积情况下寻找最高电感储能密度的场合；STRETCH meat grinder电路拓扑中有耦合电感的程序设计思路与此类似，具体可参见文献[15]。

3 实验

为验证上述程序的正确性，搭建了用于STRETCH meat grinder电路实验的电感。以厚度5.8mm铝板为原材料，通过线切割工艺加工而成。组装的电感共用42片AFSSC，电感实物如图3所示，图中，层与层之间垫了绝缘纸。电感参数见表1。

图3 电感实物Fig.3 Inductor object

表1 电感参数Tab.1 Inductor parameters

以实际电感的结构参数d、D、n、dturns、dlayers为输入量，计算了电感参数，其计算结果及误差见表2。

表2 电感参数计算结果及误差Tab.2 Inductance parameter calculation results and errors

由表3可见，程序的计算结果与测量值相比，误差在允许范围内，程序的计算结果是可信的。

4 结果比较

以第2节的算法为依托，本文搜索出最优的电感为1mH、通流能力为5kA的电感结构参数，见表3第2列数据。由于Brooks线圈对给定长度、粗细均匀的导线进行优化，且在文献[9]所给的示意图中导线截面是正方形，故程序中约定导线的截面严格为正方形，且用相同截面积和相同长度的导线绕制Brooks线圈，其结构参数见表3第3列数据。

表3 寻优结果与Brooks的比较（导线截面为正方形）Tab.3 Comparison between the optimization results and Brooks (Conductor cross section is square)

由表3可知，在严格限制导线截面为正方形的条件下（即用同种规格的导线绕制），相比Brooks线圈，本文程序寻优得到的线圈储能密度更高。进一步地，如果只要求导线长度及截面积相同，不对截面形状作限制的情况下，程序寻优结果见表4。

表4 寻优结果与Brooks的比较（不限制导线截面形状）Tab.4 Comparison between the optimization results and Brooks (without limiting the shape of cross-sectional)

由表4可见，在不限制导线截面形状的情况下，本文程序的寻优结果显著优于Brooks线圈。表3和表4两种比较结果之所以相差较大，主要是因为Brooks线圈仅是对线圈绕制方法的优化，而本文方法既包括对线圈绕制方法的遍历，又包括对导线截面形状的遍历，因此其寻优结果优于Brooks线圈提供的结果。结合本部分及第3节可以看出，采用AFSSC，并通过编程计算及寻找最优的电感结构参数的方法，可适合于各种需要电感储能密度的应用场合。

5 结论

本文设计的搜索寻优程序以空心平面螺旋线型线圈的内径、外径和匝数为搜索对象，可以在给定电感、充电电流及部分结构参数的情况下，给出具有最高能量密度的电感的内径、外径和匝数，同时可以给出相应的电阻。经过实验及与Brooks线圈比较分析，得出如下结论：

1）程序计算结果经实验验证为正确的。

2）通过与Brooks线圈参数比较，表明在限定导线截面严格为正方形的情况下，本文程序的搜索寻优结果在储能密度方面略优于Brooks线圈。

3）在不限定导线截面形状的情况下，本文程序的搜索寻优结果在储能密度方面显著优于Brooks线圈。

对于考虑电感所包绕的空气体积的情况下，求解具有最高储能密度的电感结构参数的场合，如电感储能型脉冲电源等，该方法较现有文献中的方法有较大优势。

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（编辑 张洪霞）

Design of Inductors with High Energy Density

Li Zhen Yu Xinjie
（State Key Lab of Control and Simulation of Power Systems and Generation Equipments Department of Electrical Engineering Tsinghua University Beijing 100084 China）

Inductors are the core elements in inductive pulse power supplies (IPPS). Their structure and parameters directly affect the performance of IPPS. The key element of inductor designing is to acquire the highest energy density. Inductors with high quality factors, such as Brooks coils, have the significance of high energy density. But due to different calculation methods of inductor energy density, Brooks coils do not necessarily have the highest energy density. Therefore, this paper indicates that, for the inductor design, the air-core flat spirals of strip coils (AFSSC) should be considered firstly, and after the parameters traversal of AFSSC, the inductors with the highest energy density can be calculated and found out. The accuracy of the method is verified by experiments. Finally, this article compares the optimization results of the proposed method and the Brooks coil parameters, and verifies the advantages of this method in enlarging the energy storage density.

Inductor, energy density, Brooks coils, air-core flat spirals of strip coil

TM153

李 臻 男，1982年生，硕士，工程师，研究方向为脉冲功率电源。E-mail： lzhen@tsnghua.edu.cn（通信作者）

于歆杰 男，1973年生，博士，副教授，博士生导师，研究方向为无线能量传输和脉冲功率电源。

E-mail： yuxj@tsinghua.edu.cn

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.152016

国家自然科学基金资助项目（51377087）。

2015-12-14 改稿日期 2016-05-30