开放地思考 细心地探究

邓法珍

开放地思考 细心地探究

邓法珍

近些年来，开放探究型问题成了各地中考数学的热点试题之一.此类题目具有较强的综合性与创造性，既能考查同学们对基础知识的掌握，又能反映同学们对知识内容的拓展、联想、应用能力和开发创造能力.

我们把开放探究型问题主要分为以下四种基本类型：条件开放探究型、结论开放探究型、规律开放探究型、策略开放探究型.笔者结合近几年的各地中考试题，谈谈这几种类型试题的特点和解答方法.希望能给同学们的学习带来帮助.

一、条件开放探究题

例1 已知：如图1，在△ABC中，点E是边AB上的点，点F在AC边上，请添加一个条件 （写出一个即可），使得以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似.

图1

【试题分析】本题从“知识层面”上考查了相似三角形的性质和判定，在“思考方向”上我们根据试题的特点可以从结论入手，采用“执果索因”的分析法，由于没有确定三角形相似的对应元素，故应分类讨论，分两种情况：①若结论为△AEF∽△ABC，则可以填∠AEF=∠B或∠AFE=∠C或EF∥BC或等；②若结论为△AFE∽△ABC，则可以填∠AFE=∠ABC或∠AEF=∠C或等.

【试题赏析】同学们对本题一定眼熟，因为它的图形源于课本——各种版本教材的例习题中常见的基本图形，又高于课本——包含了两个相似基本图形平行型和相交型.本题新颖之处在于别出心裁地给出了不完备的条件，需要同学们添加适当条件推论出结论.这就要求大家能全面理解题目的“知识源泉”，虽然难度不大，但有一定的开放度，答案可能不唯一，思维的方向是多角度的，旨在培养同学们的发散思维和创新思维.

二、结论开放探究题

例2 已知某函数具有以下性质：当x＞1时，y随x的增大而增大.请写出满足条件的一个函数关系式： .

【试题分析】该题是一道探究多种答案的开放题，可以是各种类型的函数.一次函数可以是y=2x+1等，反比例函数可以是y=-3x等，二次函数可以是y=（x-1）2+3、y=x2等，也可以是其他类型的函数.

例3（2016·达州）如图2，在▱ABCD中，已知AD＞AB.

图2

（1）实践与操作：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）猜想并证明：猜想四边形ABEF的形状，并给予证明.

【试题分析】（1）由角平分线的作法容易得出结果，在AD上截取AF=AB，连接EF，画出图形即可（如图3）；（2）由平行四边形的性质和角平分线的定义得出∠BAE=∠AEB，证出BE= AB，由（1）得：AF=AB，得出BE=AF，即可得出结论.

图3

【试题赏析】例2、例3属于结论开放探究题，该类问题一般是结论不确定或没有唯一答案，特点是题设中给出全部条件.在解答此类问题时，需要充分利用已知条件和图形特征，进行观察、思考、归纳、类比，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过验证或论证做出取舍.这是一种执果索因式的综合性思维，培养综合分析判断能力和科学的推断论证能力.

三、规律开放探究型

例4（2016·潍坊）在平面直角坐标系中，直线l：y=x-1与x轴交于点A1，如图4所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1…正方形AnBnCnCn-1，使得点A1、A2、A3…在直线l上，点C1、C2、C3…在y轴正半轴上，则点Bn的坐标是.

图4

【试题分析】已知y=x-1与x轴交于点A1，可得A1坐标（1，0），可得B1坐标（1，1），因为C1A2∥x轴，可得A2坐标（2，1），再由四边形A2B2C2C1是正方形，求得B2坐标（2，3），根据C2A3∥x轴，可得A3坐标（4，3），根据四边形A3B3C3C2是正方形，求得B3（4，7），因B1（20，21-1），B2（21，22-1），B3（22，23-1），…，由此规律可得Bn坐标（2n-1，2n-1）.故答案为（2n-1，2n-1）.

【试题赏析】规律探索试题是中考中的一棵常青树，一直受到中考命题者的青睐，主要原因是这类试题没有固定的形式和方法，可以考查同学们的探究和创新能力.此类型问题解决的一般方法是对特殊性得到的结论进行合理猜想，适量验证，由特殊猜测一般的结论或规律.处理该问题关键是要找出An、Bn两点坐标的关系，从特殊点B1开始进行探究对象所具有的内在规律，通过猜想、证明等环节，完成规律的探究过程.

四、策略开放探究型

例5（2016·山西）如图5，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，AB是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度直尺，②保留必要的画图痕迹.

图5

图6

（1）在图5中画出一个45°角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边；

（2）在图6中画出线段AB的垂直平分线.

【试题分析】第（1）问根据等腰直角三角形的性质即可解决问题，有两种不同的构造策略如图7、图8.

图7

图8

第（2）问由于作图工具的限制，最终的落脚点为“两点确定一条直线”，所以解决此题的突破口在于如何确定关键点.作图策略有很多，可以分为以下几类：

类型①：借助矩形的性质确定关键点，如下图.

类型②：借助正方形的性质确定关键点，如下图.

类型③：借助被隐藏的网格确定关键点.

【试题赏析】本题以长方形的对角线为载体，综合考查等腰直角三角形的判定，线段垂直平分线的判定，正方形的判定、旋转、中心对称等相关知识.试题中几何关系丰富，蕴含了“数量关系决定位置关系”的数学本质.两个小问题的解法均丰富多样，可以发现，解答策略入口宽、方法多：其中类型①的解法思路要求同学们具有较高的几何直观能力；类型②的解法很大程度上是受第（1）问的启发得到的，要求同学们要有较好的类比联想能力；类型③的解法思路则反映思维的高度形象具体化，要求具有较高的数学素养.不同的解法透露了不同思维的差异，但是解此类问题的关键重在转化：第（1）问转化为等腰直角三角形，第（2）问根据“两点确定一条直线”公理转化为“两点的确定”.

开放探究型问题题型设计灵活，问题所涉及知识面广，解决的关键是要认真审题，确定目标，更要深刻理解题意，拓展思路，发散思维，数形结合，合理转化.而直观归纳与严格推理论证相结合是处理这类问题的基本思路和解题策略.

（作者单位：江苏省常州市金坛区华罗庚实验学校）