一分一合一世界 一题一课现多元*
——例谈解题教学样题的功能

●王姣慧(仁爱中学 浙江宁波 315200)

一分一合一世界 一题一课现多元*
——例谈解题教学样题的功能

●王姣慧
(仁爱中学 浙江宁波 315200)

文章以一道优秀的样题为载体，按照分拆和组合图形的路线，凸显了函数应用的过程，让函数的思想在样题的教学中自然而然的孕育、生长.

识图;知图;用图;组合;分拆

1 问题提出

波利亚曾在《怎样解题》中强调“中学数学教学首要的任务就是加强解题训练”“掌握数学就意味着善于解题”[1].为了加强对初中数学课堂解题教学的研究，切实提高课堂教学效果，笔者参与了本区开展的“一题一课、自主编题”课堂教学评比活动的观摩和评比，活动要求：1)围绕指定的“一题”设计一节专题复习课，使整课能体现思想或方法上的某一主题，课题可自拟；2)教学设计中要有“学生自主编题”的环节，让学生不仅能分析与解决问题，并能提出问题；3)课堂教学中要充分体现“以生为本”的理念，以多种方式展开教学.

图1

本次活动以某地的中考题或课后练习题为载体，要求选手设计用于课堂例题教学的一堂课(40分钟)，文稿标题由教师自定，体例不做统一要求，以便于教师创新和发挥，充分表现自己的课堂设计特色和风格.本文的“一题”以2010年浙江省绍兴市数学中考试题第7题为例(记为例1，亦即本文的样题)，授课对象是八年级学生，笔者拟与大家一起探讨解题教学中如何充分展示样题的功能、如何突破解题教学的针对性和拓展性.

例1 一辆汽车和一辆摩托车分别从A地、B地去同一城市，它们离A地的路程随时间变化的图像如图1所示，则下列结论错误的是

( )

A．摩托车比汽车晚到1 h

B．A地、B地之间的路程为20 km

C．摩托车的速度为45 km/h

D．汽车的速度为60 km/h

(2010年浙江省绍兴市数学中考试题第7题)

2 获奖课例整合

2.1 理解问题

教学目标：1)经历利用函数图像获取信息的过程，培养学生数形结合的意识，发展学生形象思维能力；2)初步体会函数与方程、不等式的关系，构建良好的知识联系，发展学生的数学应用能力；3)经历从不同角度去观察、分析、思考、体验解决问题的多样性的过程，获得成功的体验，树立学习的信心.

教学重点：应用一次函数的图像解决实际问题.

教学难点：图像信息的挖掘及应用.

2.2 制定计划

2.2.1 识图——信息挖掘的基础

一辆汽车从A地去城市C，它离A地的路程随时间变化的图像如图2所示.

问题 1)横轴表示什么？2)纵轴表示什么？3)关键点坐标是什么？4)从图像中能得到哪些信息(AC距离180 km；汽车的速度为60 km/h；S=60 t)？

图2图3图4图5

练一练 1)一辆汽车从B地去C地，它离A地的路程随时间变化的图像如图3所示;

2)一辆汽车从A地去C地，它离A地的路程随时间变化的图像如图4所示;

3)一辆汽车从C地回A地，它离A地的路程随时间变化的图像如图5所示.

从这些图像中你能得到哪些信息？

2.2.2 知图——建立联想的关键

观察图1和图2～5，说说图1与后几个图的联系与区别(出发点、出发时间、运动状态、实际意义)？

2.3 实施计划

2.3.1 分拆——寻找解题的钥匙

观察图1，说说图1的组成？(图1可看做图2与图4的组合，这是行程问题中的追击问题)刚才得到的图像信息成立吗？你还能得到哪些新的结论呢？

对于例1，分析图像可知：

1) 4-3=1，摩托车比汽车晚到1 h，故选项A正确；

2)因为汽车和摩托车分别从A地、B地去同一城市，从y轴上可看出A地、B地的路程为20 km，故选项B正确；

3)摩托车的速度为(180-20)÷4=40 km/h，汽车的速度为180÷3=60 km/h，故选项C错误；

4)根据汽车出发1 h后行驶60 km，摩托车出发1 h后行驶40 km，加上图像所示的20 km差距，则2辆车行驶的距离相等，此时距B地40 km，故选项D正确；

5)根据图像可得出2辆车是匀速行驶，故例1的答案是C．

策略总结 遇到图像类的行程组合问题，一般先分拆——分析清楚单个图像的性质和特征，然后再组合——分析在组合图形中你还能得到哪些新的结论.

2.3.2 用图——完善问题的导向

图6

例2 甲、乙2辆汽车分别从A地、B地同时出发，沿同一条公路相向而行，乙车出发1 h后休息，与甲车相遇后，继续行驶．设甲，乙2辆车与B地的路程分别为S甲(km)，S乙(km)，甲车行驶的时间为t(h)，S甲，S乙与t之间的函数图像如图6所示.结合图像解答下列问题：

1)乙车休息了______h；

2)求乙车与甲车相遇后S乙与t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围；

3)当2辆车相距40 km时，直接写出t的值．

(2014年吉林省数学中考试题第22题)

借助上述解题策略，你能解决例2吗？通过一次函数图像信息来呈现的行程问题，可通过准确识图，从图像中获取有效信息进行加工、处理和整理，将图像信息与实际数据转化为相应的数学问题，理清变量之间的关系，通过合理建模解决实际问题.

2.3.2 欣赏——感受考题的智慧

以下展示的是几道中考试题图像(如图7～9所示),欣赏其结果，感受命题思路(具体题目略)，意在突破不同角度去观察、分析、思考、体验甚至欣赏解决问题的多样性，真正做到举一反三，树立学习的信心,获得成功的体验.

1)

图7

(2013年湖北省鄂州市数学中考试题第20题)

2)

图8

(2014年福建省泉州市数学中考试题第24题)

3)

图9

(2014年新疆建设兵团数学中考试题第23题)

2.3 组合——呈现编题的精彩

师：下面请同学们利用所学的知识，以4人小组为单位进行编题，要求：1)任选2个图像组合；2)题目完整；3)编完题目后要有解答过程.

教师投影展示部分学生的成果，如图10～13所示.

图10 图11 图12 图13

2.4 回顾与反思

2.4.1 反思知识点和思想方法

一次函数自述：大家好，我是一次函数图像，我在实际生活中有着广泛的应用(不光光是行程问题哦).有时候我会一个人出现，但更多的时候我会和我的兄弟姐妹一起出现.当遇到我的时候，你们可幸运了——可以从横轴、纵轴实际含义、关键点的坐标等方面来认识我，也可以请待定系数法来求解析式.当我跟我的兄弟姐妹同时出现时，情况可就复杂了，这时候你们可要擦亮眼睛，把我们一个个地分离出去并辨认清楚，有时候还得请方程来帮忙求出交点坐标.最后祝愿大家带着一颗进取的心，走向属于自己的那一片世界！

2.4.2 反思整个教学过程

样题教学注重对解题过程、解题结果及知识和思想方法的反思，同时关注对题目变式的回顾，此案例中反思编题环节是对学生能力的挑战和提升.当然本案例的探究还远远未结束，我们的思考也还在继续，如将横纵轴改为V-S图或单价总量图，将直线型改为折线等.

3 一分一合一世界，一题一课现多元

3.1 样题应凸显过程

凸显过程，就是让学生经历知识技能的产生发展，经历问题分析、解决、反思过程，经历情境迁移、产生共鸣的过程.好的样题应充分展示这些过程，就必须原汁原味、典型，应用它能让学生体会到水到渠成的数学“自然之美”.函数应用题取材广泛，贴近实际生活，蕴含的信息丰富，它已经成为中考命题者的青睐对象.本节课所选样题以一次函数图像为载体，按照识图、分拆、用图、组合图形的路线，凸显了函数应用的过程，让函数的思想在样题的教学中自然而然地孕育、生长.

3.2 样题的人文关怀

在样题选择过程中，教师关注学生的“四基”较多，往往选择必考常考题、易错题或者适当的难题.在教学中，也会针对学生的“最近发展区”设置问题，解决问题，但往往会忽略最基本的人文关怀——问题背景大多以传统的行程问题为主，少有与学生生活息息相关的问题情境，中考题也是如此.

3.3 样题应展示个性

本课例的亮点在于学生编题，学生编题源于对样题的理解和模仿，活动设置本身充分展示了学生的个性，诸如生活中的分层纳税、医疗保险、出租车计费等问题情境都可能出现，教师在小结中对此表示肯定.笔者认为，个性化即创造，函数的个性、教师的个性、学生的个性才是我们学习的真谛，若干年后，我们最能记得的往往是个性化的人或事.

3.4 样题应蕴含数学思想方法

每一个知识模块，都有相辅相成的思想方法，如数的计算化简、式的变形化简、方程的转化等[2]，都可以通过样题来提炼升华.函数以它的综合性见长，用图像来说话，如文中的样题(例1)就以图像为载体，教学也按照识图、分拆、用图、组合图形的路线为主线，顺理成章.

3.5 样题应彰显理性思维和数学的核心素养

中央民族大学孙晓天教授说：“数学核心素养可以普遍迁移，广泛辐射，终身受益.学了数学，但后来可能很多知识都忘记了，留在你的脑海里那个东西大概就叫素养，它不能通过灌输，主要是教师的引导、学生的经历和体验，所以数学素养要真正变成学生的‘素养’，一定要伴随课堂教学方式的改变.”若要帮助学生学会思考问题、拓展学生的“思维空间”，让推理和证明成为学生的一种学习方式、理解方式，则样题的“数学味”必须浓厚.

调查显示:学生幸福感的第一来源是“丰富多彩的活动”，学生最喜欢的学习方式是同学之间的互相讨论，其次才是教师提问自己表达，排在第3位的是利用图书馆、网络等资源学习，喜欢完全听教师讲课的学生所占比例不到10%.在解题教学中,样题的选择也应如此，既要考虑知识的产生、发展过程，还要考虑知识技能的形成、数学思考的探索，甚至问题解决的优化、情感态度的养成，乃至整个数学综合素养的提升.

[1] 马波.中学数学解题研究[M].北京:北京师范大学出版社, 2011．

[2] 张奠宙,丁传松,柴俊.情真意切话数学[M].北京:科学出版社,2011．

2017-03-02；

2017-03-30

王姣慧(1975-)，女，浙江诸暨人，中学高级教师.研究方向：数学教育.

O123

A

1003-6407(2017)05-09-03