一道复习题的讲评引发的“波澜”

☉江苏连云港市罗阳中学邵长亮

一道复习题的讲评引发的“波澜”

☉江苏连云港市罗阳中学邵长亮

一、问题缘起

执教苏科版数学七年级下册第七章“平面图形的认识（二）”时，评讲这样一道单元复习题：如图1所示，在五边形ABCDE中，AE∥BC，求∠C、∠D、∠E的和.

图1

题目并不复杂，思路也比较明显：根据多边形内角和公式，有∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=（5-2）×180°=540°，因为AE∥BC，所以∠A+∠B=180°，因此∠C+∠D+∠E= 360°.

图2

图3

在笔者的教学设计中，这道题目由学生独立分析并进行板演，之后笔者简化题目条件，进行变式训练：如图2所示，AB∥CD，试说明∠A+∠E+∠C=360°.这个变式的意义在于引导学生通过连接BD构造五边形，从而将新问题转化成曾经解决的习题，体现了数学问题解决中的转化思想.除此之外，教师还将引导学生探究这样一种思路：过E点作AB的平行线EF，将∠E分解成∠AEF与∠CEF的和，通过两次运用“两直线平行，同旁内角互补”，得到∠A+∠E+∠C=∠A+∠AEF+∠CEF+∠C=180°+180°=360°，如图3所示.这个思路也是基于对强化平行线性质应用的考虑.

二、状况百出的课堂

1.设计的证明思路出现了瑕疵.

课堂教学看似一切顺利，第一种思路得到了学生积极的回应，反响也比较热烈.随后，笔者试图引入第二种思路，提出：360°这个度数比较特殊，它可以看作两个180°之和，而我们对180°很熟悉，例如两直线平行，同旁内角互补，那么这个问题是否可以利用这个性质解决呢？学生此时反应平平，笔者急于抛出第二种思路，继续引导学生：如果从E点作EF∥AB呢？这时候，大部分学生恍然大悟，沿着第二种思路顺利解决问题.

正当笔者准备结束这个问题的评讲，进行方法和技巧的总结时，一个学生举手提问：过E点作EF∥AB，为什么EF一定与CD平行？其他学生随后发出一阵笑声，认为这个学生提出的根本算不上什么问题.但是笔者这时却才猛然意识到犯了一个错误：平行于同一条直线的两条直线平行，这个命题要到第十二章“证明”中才出现，而笔者所设计的第二种思路中不自觉地使用了这个性质！因此，笔者对提出这个问题的学生进行了一番鼓励后，提出了怎样说明EF∥CD的问题，作为对这种证明的补充.学生很快找到了证明的方法，解决了这个疑问，总算为这个问题的解决画了一个圆满的句号.

2.一波未平，一波又起.

这时，又有学生提出：老师，您刚才说180°很特殊，我们很熟悉，但是我们最先想到的并不是两直线平行，同旁内角互补，而是想到三角形内角和为180°，您为什么不用三角形内角和来解决这个题目呢？

这个学生的想法让笔者始料未及！确实，三角形内角和为180°是学生在小学时就已经知道的结论，自然更容易想到，那么这个问题到底能不能运用三角形内角和来解决呢？笔者在毫无准备的情况下，和学生一同分析：如果想用三角形内角和来解决，首先需要有三角形，而题目所给的图中没有这样的三角形，这就需要我们进行构造，问题是：怎样构造出含有∠A、∠E和∠C的三角形呢？

有学生立即想到：连接AC，如图4所示.笔者就这种方法一起和学生进行了探究：连接AC后，∠E成为△ACE的一个内角，而∠A和∠C各自的一部分成为△ACE的另外两个内角.根据三角形内角和，可知∠EAC+∠E+∠ACE=180°.由AB∥CD，得∠BAC+∠ACD=180°.于是∠BAE+∠E+∠ECD=∠BAC+∠EAC+∠E+∠ACE+∠ACD=180°+180°=360°.这可以看作解决这个问题的第三种方法.

图4

图5

随即学生像受到了鼓舞一样，提出延长AE和DC交于点F，如图5，也可以构造三角形.其实这种构造方法在第三种方法的探究过程中，笔者已经注意到了，但是却没有把握一定能将问题解决.既然学生提出了这样的构造方法，那就和学生一起探究.笔者作出图形后，学生立即开始发表意见：因为AB∥CD，所以∠A+∠F=180°.根据三角形内角和可知∠F+∠FEC+∠FCE=180°，即∠F= 180°-∠FEC-∠FCE.又∠FEC=180°-∠AEC，∠FCE= 180°-∠ECD，因此∠F=∠AEC+∠ECD-180°，也就可得∠A+∠AEC+∠ECD=360°.这成为了第四种解法.

3.再起波澜.

经过上面的探究后，笔者认为这个问题的解决已经取得了意想不到的效果，再次准备进行总结时，又有学生提出了新的问题：老师说360°可以看成两个180°的和，为什么要看成两个180°的和呢？360°本身就很特殊啊，比如说它是四边形的内角和，也是一个周角的度数.

学生的这个问题再次出乎笔者的意料，笔者已经敏锐地感觉到学生似乎对这个问题背后的东西有了更深层次的领悟，这样的机会岂容错过！于是再次投入到和学生的探究中.依着学生的问题，笔者引导学生思考：如果将360°看成一个四边形的内角和，那就必须将∠A、∠E和∠C转化到同一个四边形中，而原图中并没有四边形，需要我们构造！学生很快形成了第五种解决思路：在CD上取一点F，连接AF，如图6所示.此时，有∠EAF+∠E+∠C+∠CFA=360°.根据AB∥CD，可得∠FAB=∠CFA.立即就可以得出∠BAE+∠E+∠C=360°.

图6

图7

还有第六种方法，将360°看成是一个周角，学生也很快探究出了构造方法：从E点向左作EF∥AB，如图7所示.根据前面的探究，可知EF与CD也是平行的，所以可得∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，于是∠A+∠AEC+∠C=∠AEF+∠AEC+∠CEF=360°.

三、回顾与思考

纵观本节课，从一个简单的题目出发，引出了多种多样的解决方法.这些方法虽然不尽相同，但是其背后的内涵是一致的，就是将新问题向着已有知识转化，而转化的途径则依赖于不同形式的构造.这在一定程度上体现了对数学问题解决的一般思维方法.这节课出乎教者的意料之外，却又在数学教育的“情理”之中，有很多值得反思的地方.

1.数学教学应渗透数学思想.

以前看来，这句话有点儿近似于套话，然而本节课的教学却使得笔者重新审视这个论述.《义务教育数学课程标准（2011年版）》在实验版“双基”的基础上增加了基本活动经验和基本思想，并非无迹可寻，而是有的放矢.数学思想并非空穴来风，而是深刻地蕴含在数学内容之中.基本数学思想具有隐性的特点，在初中数学教学中更多的是渗透在具体问题的解决过程之中，而渗透数学思想则需要对数学问题进行反复分析.本节课在设计之初有这样的考虑，通过将360°转化为两个180°之和，将三个表面上看起来并没有过多联系的三个角转化为容易探求的平行线所截而成的互补的角的和；学生后来的探究也很大程度上受到了笔者原先所设计的渗透转化思想的影响.

2.数学思想需要学生在过程中感悟.

正是因为数学思想的隐性特点，所以初中数学教学中，数学思想“只可意会，不可言传”，需要学生的“顿悟”，而学生对数学思想的感悟往往是在对问题的分析与解决过程中完成的.在笔者所设计的第一种、第二种方法之后，学生提出的疑问已经可以明显感受到问题解决的思维方式了，也就是体会到了转化思想.到了第五种、第六种方法的最终确立，在本质上学生已经对转化思想有所顿悟，所提出的“将360°看成四边形的内角和或一个周角”就是这种顿悟的外在体现.

3.数学的问题解决过程就是对已有知识经验不断进行总结反思和探索的过程.

教师在学生的问题解决过程中，应展示运用基础知识和基本技巧的方法，更要展示怎样将这些知识、技巧进行不同组合来应对不同问题的思维过程.也就是说，教师不能仅仅告诉学生怎样进行解答，更重要的是告诉学生：我是怎么想的，我是怎样去实现这个想法的.同时教师要鼓励学生进行自我调控和反思，鼓励学生将自己的观点说出来，与同学进行交流，碰撞出思维的火花.在本节课的教学中，笔者面对学生提出的始料未及的问题，不是消极回避，而是积极引导并参与学生的交流与讨论，毫无保留地展现自己的思维过程，这也是本节课在“失败”的设计下，一点值得保留的“成功”经验.

江苏师范大学黄晓学教授基于发生认识论的观点提出了“诱惑、导学、启知、发识”四环节教学论和“生惑、积学、致知、增识”四环节学习论，主张我们的数学教育应建立“才、学、识”兼备的广义的数学教育.这个观点可以看作是《义务教育数学课程标准（2011年版）》“四基”“两能”的实践性的、具有操作意义的解读.本节课在设计之初，虽然有很多不完善的地方，但是整个课堂的发展与学生的探究交流却暗暗契合了黄晓学教授的四环节教学与学习论，无意中成了培养学生“才、学、识”兼备的数学教育的一次有益尝试.

爱因斯坦说过：当一个人把他在学校学到的所有知识全部忘掉后，剩下的东西就是教育.如果我们把这句话代入到数学教育中，就是当学生忘掉了坐标、函数、方程等具体的数学知识之后，剩下的就是数学教育.从这个意义上来看，数学教育很大程度上就是数学思维、数学思想的培养与发展.大诗人王国维说做学问须经三个境界，第一境界是“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望断天涯路”；第二境界是“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”；第三境界是“众里寻他千百度，暮然回首，那人却在灯火阑珊处”.数学的思想方法，正是经历“望断天涯路”的困惑和“衣带渐宽”的孜孜探究后，“灯火阑珊处”的顿悟，也正是爱因斯坦所说的“剩下的东西”！

1.杨裕前，董林伟.义务教育教科书：数学（七年级下册）［M］.南京：江苏凤凰科学技术出版社，2012.

2.黄晓学.从惑到识——数学教学中学生认识的发生原理［M］.徐州：中国矿业大学出版社，2008.

3.李铁安主编.义务教育课程标准（2011年版）案例式解读（初中数学）［M］.北京：教育科学出版社，2012.

4.史宁中主编.义务教育数学课程标准（2011年版）解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

5.［美］R·柯朗，著.左平，译.什么是数学——对思想和方法的基本研究（增订本）［M］.上海：复旦大学出版社，2008.

6.邵长亮.以数学写作推进数学尚“识”教育［J］.中学数学（下），2014（12）.