核心素养：数学教学的本真使然（上）

核心素养：数学教学的本真使然（上）

■卜以楼

积累和提升数学核心素养是数学教育的必然取向，通过数学抽象活动、数学推理活动、数学建模活动，能发展学生的数学意识，提升学生用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言描述世界的素养，增强学生的数学内涵，锻炼学生的数学表达能力。

核心素养逻辑演绎归纳推理数学建模概念教学

至今能检索到的我国官方第一次提出“核心素养”的是2014年3月国家教育部印发的《关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务的意见》中提出的要“研究制订学生发展核心素养体系和学业质量标准”。这个命题一经提出就被教育界乃至社会各界所热议，“正在成为新一轮课程改革深化的方向”，并将在相当长的一段时间内呈燎原之势。它反映出培育数学核心素养是数学教学的本真使然，积累和提升数学核心素养是数学教育的必然取向。本文从数学核心素养的价值取向、实施路径这两方面谈一些基本认识，将在下一期的文章中谈一谈数学核心素养的测量期许。

一、数学素养的价值取向

什么是核心素养？各个学科可能有不同的内涵和表述，但必须要具有相同的内在诉求和价值取向，那就是指“学生应该具备的适应终生发展和社会发展需要的必备品格和关键能力”。我们只有找到对学生终身发展有用的DNA，才能在给学生打下坚实知识技能基础的同时，又为未来发展预留足够的空间。学科教学也只有给学生准备好必要的“泵”和“桨”，学生才能在未来的生活工作中有不竭的动力源。基于上述的价值取向，数学核心素养必须要凸显下列3个方面的价值内涵。

1.数学素养是课程目标的本质诉求。

“数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养”。不难看出，新一轮的数学课程改革，已经将课程的总体目标锁定在数学核心素养上。这是这次课程改革最为浓墨重彩的一笔，这种大手笔的制作已在数学教学园地里开花结果，并形成了一道亮丽风景，令世人瞩目。

通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和科学态度的数学课程目标，其经历了20世纪六七十年代强调的“双基”教学的落实、80年代注重的思维能力的培养、90年代关注的创新能力的发展以及21世纪初确定的“三维目标”的勾勒这几个具有标志性的理念创新和实践探索时期，上述几个过程再到现在的核心素养理念的形成和体系的建立，都凸显出一种与时俱进的数学课程目标意识。我们可以简单地认为，“落实‘双基’是课程目标1.0版，三维目标是2.0版，核心素养就是3.0版”。从强调“双基”到三维目标，不是数学学习与情感、态度、价值观的简单叠加，而是学生通过数学学习形成“双基”，发展思维能力，培养应用意识和创新意识，增强自信心，产生愉悦的学习情愫，增进对学习价值的重新认识。从“三维目标”到核心素养，也不是“三维目标”与核心素养进行简单的叠加，而是“育人目标、学科育人价值在不同教育阶段的具体体现”。为此，从某种意义上讲，“把数学教学放到数学教育的价值高度去认识才符合数学素养的要义”。这种从注重“双基”到“三维目标”，再到核心素养，满足了人们对数学学科的理性向往和数学教育价值的提升，是数学课程目标的本质诉求，也是数学素养定位的价值取向。

2.数学素养是数学学科的内蕴特性。

关于数学核心素养的问题，我们首先要思考的是数学这门学科在学生身上能够产生哪些变化？对学生后续发展会有哪些贡献？即要关注学生毕业以后，作为一个公民，学过数学和没学过数学有什么差异，又要关注数学学科留给学生终身受用的东西是什么。然后以此为纲来确定课时目标，加工教学内容，选择教学方法，开展数学活动，在此过程中来提升数学核心素养。

要回答这个问题，就必须回到数学学科的内蕴特性上来。“数学学科就其结构而言，可分为表层结构和深层结构”，它们分别对应着知识的表层意义和深层意义。数学符号、表格、图像等数学语言所直接表述的数学概念、定理规则、逻辑命题等知识内涵和价值意义是数学的表层结构意义。而数学的深层结构意义是蕴含在数学知识内涵和价值意义之中或背后的精神、价值、方法论等方面的生活意义和文化意义。表层结构意义的存在方式是系统的、逻辑的、主线的、显性的、明确的，它是可以言传的数学知识。深层结构意义的存在方式则是分散的、渗透的、暗线的、隐性的、默会的，它是不可以言传的，但它是学生核心素养形成和发展的根本。

由此，我们可以认为，数学素养的内涵是丰富的。“作为累积的数学素养、知识技能、兴趣习惯、缜密的思维品质、个性独特的学习经验、合作与自信的人文精神等皆是一生可持续发展的基石”。即“数学素养是人们通过自身的实践和认知活动所获得的数学基础知识、基本技能、数学思想和观念，以及由此形成的数学思维品质和解决问题能力的总和”。如果我们仅把数学核心素养看成是一个在数学内部中的结构、模型或思想方法，那教学的价值还不够深远，数学教育对人的发展的反作用还取不到最大值。如果我们跳出数学活动来审视数学的学习过程，一定会有一种别有洞天的新视角。因为数学活动过程中，有“学生在获取一定的数学知识、形成一定的数学技能的基础上，通过长期的、有意识的数学活动影响，所形成的具有比较稳定的、自觉的数学意识和数学行为。它包括数学的问题意识、数学的观察力、数学的思维推理、解题的方法与策略，自觉地运用数学的意识和能力，以及在这些过程中表现出来的创新意识、数学的美学价值及人文精神等方面的素养”。为此，数学学科的核心素养就在于让数学学科内蕴特性与其数学活动产生教育的正能量，“让学生在学习数学过程中的思维过程、方法策略内化为学生走向社会解决问题的基本认识、基本素质、基本态度及基本思想”，以及在其过程形成的思维品质和人格魅力。为此，我们可以认为，数学核心素养是数学知识技能、思想方法的物化形态。

3.数学素养是学科育人的自觉审视。

不言而喻，“任何学科的教学都不是仅仅为了获得学科的若干知识、技能和能力，而是要同时指向人的精神、思想情感、思维方式、生活方式和价值观的生成与提升。学科教学要有文化意义、思维意义、价值意义，即人的意义”。所以说，用学科的思维方式育人是学科教学的终极目标。即实现“‘帮助学生学会数学地思维’到‘通过数学学会思维’的转变”。因此，我们有理由更加倾向于把数学核心素养归结为：认识世界、解释世界、征服世界、改造世界的建模能力，思路清晰、条理分明、言之有理、落笔有据的思维品质，勤于思考、认真细致、一丝不苟、崇尚真理的科学态度，勇于探索、善于合作、追求卓越、奋发向上的进取精神，突破常规、不迷信权威、乐于质疑、敢于创新的突破意识。

诚然，数学教学要注意升腾通过数学活动累积下的核心意蕴，要承担起数学育人的教育担当。数学核心素养归根结底是关于人在其发展过程中所必需的核心素养，为此，要把数学教育聚焦到人的发展上来，那么其价值指向就是要培育学生的数学思维品质和数学思维方式以及在此过程中“经由‘理性思维’的学习与应用逐步发展起了‘理性精神’，也即由‘思维方法’不知不觉过渡到了‘情感、态度与价值观’”。唯有内化形成了的数学核心素养才是学习数学后给人留下的东西，它是促进人生命成长的基础，也是人的生命发展、提升、进阶的催化剂、加油站、动力泵，这种理念的形成与实践是数学教育人对数学学科教学的自觉审视。

二、核心素养的实施路径

从上述数学核心素养的内涵界定中可以看出，数学核心素养其“内涵体现了数学课程目标的要求，更为注重学生适应社会生活必须具备的数学素养，更为强调数学在现实生活中的应用及其表现出来的特征”。它“反映数学本质与数学思想，是在数学学习过程中形成的具有综合性、阶段性和持久性”的素养。这种基于数学的素养，“可归纳为三方面的内容，用六个字表达：抽象、推理、模型”。下面就从数学抽象、数学推理、数学模型三个方面来探讨数学素养的实施路径。

1.通过数学抽象活动，发展学生数学意识，提升学生用数学的眼光观察世界的素养。

学习数学，就是通过具体的数学活动，开展有价值的思维，让学生具备数学的眼光。这里要厘清的，一是眼光、眼界必须是数学学科所特有，是其他学科不具备的。二是要学会观察，“数学的结果是‘看’出来的，而不是‘证’出来的”，足以说明“看”与观察的重要性。弄清上述这两个问题本身也是我们数学教育人的一种数学眼光。如果将问题回归到原点，就是要将外面的世界纳入到数学的内部中来，或者准确地把与数学有关的东西迁移到数学中来，这个思维过程就是数学抽象。因此，要让学生具备数学眼光，就得唤醒学生的数学抽象意识，训练学生的数学抽象思维，发展学生的数学抽象能力。

众所周知，概念教学是数学教学的最为重要的组成部分，而“得出数学概念的过程是典型的数学抽象的过程”，因此，扎实有效地开展概念教学，是发展学生数学意识，提升数学核心素养的着力抓手。

例如，同类项概念的建立，不是要直接告诉学生在用字母表示数的背景下来认识同类项，而是要让学生在刚刚学习过用字母表示数的知识背景下，自发地、自主地在代数的数学抽象中建立同类项的概念。为此，可以构建下列教学活动，训练学生的数学抽象能力。

同类项的概念可追溯到幼儿园、小学数学的学习中。在幼儿园、小学里的同类项是用最形象化的图案（如）、半抽象的中国方块字（如：“课桌”）、抽象的“数”（如：“万”）来表示的。当时没有建立“同类项”的概念，没有揭示同类项的数学本质，是由学生的认知心理基础以及认知发展规律决定的。到七年级上学期再来认识这个问题，就是要建立更高级的数学抽象，用符号化（代数化）表述同类项，即用字母来表示同类项，用更加抽象的思想来认识生活中的“物”、认识数学中的“数”。并在此过程中，让学生如何观察这些式子的特征，即研究“式结构”的问题。这里面一定要让学生掌握观察的方法，即用从宏观到微观、从整体到局部的思想，分别要从字母的种类、指数、系数来揭示这两组对象的特征。通过教师启发引导学生得到：同类项在生活中就是“长得一样”的东西，在数学中就是用字母来表示“长得一样”（字母的种类、相同字母的指数分别相同）的数学式子。

上述中的活动本质就是数学抽象，其教育价值是让学生用数学的眼光观察世界。这里面也有两方面的含义，一是具备数学的眼光，主要通过幼儿园、小学学习的数学知识过渡到七年级中的代数世界里来实现。二是让学生学会观察，如何观察，如何揭示本质属性，教师要有方法性指导。同类项与字母的种类、次数有关，而与系数无关，就是观察的本质，这种有层次、有顺序、有方法的观察，就是数学素养的显现，要靠教育特有的“慢”功能才能逐步显现出来。

2.通过数学推理活动，增强学生数学内核，提升学生用数学的思维思考世界的素养。

我们知道，数学推理是数学教学的最为重要的组成部分，也是数学学科有别于其他学科的本质特征。如果说，数学抽象是把外部世界中与数学有关的东西纳入到数学内部世界中来，那么通过推理，可“得到数学的命题和计算方法，促进数学内部的发展”，所以说推理是数学的“命根子”。因此，扎实有效地开展数学推理，是增强学生数学内核，发展数学核心素养的有效引擎。

数学教育家G·波利亚说过，数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨科学，从这个方面看，数学是一门系统的演绎科学。但另一方面，创造过程中的数学，看起来更像一门实验性的归纳科学。杨振宁先生在《我的生平》的演讲报告中也曾说过：“我很有幸能够在两个具有不同文化背景的国度里学习和工作，我在中国学到了演绎推理，我在美国学到了归纳推理。”两位大师都在揭示演绎推理、归纳推理就像一枚硬币的两面，是相互依存、相互作用的道理，这也为数学教育提供了实践方向。

在教学实践中，往往对逻辑演绎推理较为重视。这种思维方式对分析问题、解决问题起到很重要作用。例如，代数计算的进行、几何定理的论证、几何命题的证明，充满着数字和符号，需要欧几里得式的演绎推理，结构严谨而又科学，说明数学是一门系统性的演绎科学。但只重视演绎推理活动，就不利于发现问题、提出问题能力的培养，不利于创新能力和实践能力的提升。因为就数学学习而言，一定充满着假设、猜想、操作、尝试、验证等思维过程，这些思维活动正说明了数学又是一门实验性的归纳科学。例如，在数学的创造中，代数中的运算概念的建立、运算顺序的规定、运算律的探究、几何中的“基本事实”的总结等等需要数学的归纳和综合。

从方法论上讲，归纳推理是讲道理，演绎推理是重推理。“良好的数学教学活动，应突出数学的特点，揭示数学知识产生的自然性与合理性，既讲推理，也讲道理。即要既讲推理和结论，也讲道理和缘由。要基于感性发展理性，让数学教学价值在教学过程中鲜活地流淌，让数学教学活动闪耀理性、智慧的光芒”，让学习数学知识和积累数学核心素养相辅相成、相得益彰。

3.通过数学建模活动，锻炼学生数学表达、提升学生用数学的语言描述世界的素养。

毋庸置疑，数学建模活动及数学模型是数学学科创新的显著标志。“通过模型，人们创造出具有表现力的数学语言，构建了数学与外部世界的桥梁。”让数学向外部世界输送信息，让数学走进生活，让数学成为生产力，为人类创造财富服务。因此，扎实有效地开展数学建模，是锻炼学生数学表达，凸显数学核心素养的必由之路。

数学模型是数学特性的本质诠释，数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。例如：

某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件。如果商场通过销售这批衬衫每天要盈利1200元，衬衫的单价应降多少元？

这个问题的本质是，每件衬衫单价下降的数量（元/件），决定每件衬衫的利润（元/件），同时也会决定销售的数量（件），而每件衬衫的利润与销售数量的积又决定着销售的总利润。即模型中的一个基本量x，决定着第二个数量A、第三个数量B，而第四个数量C又与A、B存在A· B=C这一特殊关系。如果A、B都可以用基本量x的一次因式表示，则其模型就是一元二次方程的模型。如果A、B中一个可以用基本量x的一次因式表示，另一个可用基本量x的二次因式表示，则其模型就是一元三次方程的模型。余下类推。根据这个本质，生活中的行程问题、工程问题、物价问题、面积问题等等都可建立一元二次方程模型来解决。

有了模型，就有个如何表示这种模型的问题，这就涉及用数学语言描述这个世界的问题。数学上表示模型的方法固然很多，但是用“样子+条件”来表示一个数学模型是常用的基本方法，这一点必须向学生交代清楚。例如：

需要说明的是数学抽象、逻辑推理、数学建模这三大能力不是孤立存在，而是三位一体相辅相成的。就上述实际问题而言，通过数学抽象得到一元二次方程的模型，对一元二次方程的求解，又必须在数学内部应用运算原理与规则，通过推理形式得到方程的解，有了方程的模型我们就可以用方程这个模型去刻画这个现实世界中的某些问题。即是说方程的概念建立是抽象到模型，解方程则是模型到推理，用方程去解决问题则是问题到建模。

（作者为江苏省中学数学特级教师，正高级教师，南京市宁海中学分校教师发展中心主任）