对课本中“思考与探索”的再思考、再探索

江苏省涟水中等专业学校(223400) 陈 永 ●

对课本中“思考与探索”的再思考、再探索

江苏省涟水中等专业学校(223400) 陈 永 ●

一、问题

将图1中面积为8×8=64的正方形裁剪成图中标出的四块几何图形，然后重新“拼接”成边长为5和13的“长方形”(如图2)它的面积为13×5=65．我们知道:图形面积是可以分割的，经过移动也是不变的．因此，上述正方形的面积，应该等于把这个正方形分割后拼成的“长方形”的面积，这就出现了“64=65”的结论!这个结论正确吗?当然不可能．你能用学过的知识解决这个问题吗?

背景:本题源自义务教育课程标准教科书(江苏科技出版社)八年级下册第十一章图形与证明(一)所给出的“思考与探索”题．直觉和实际的强烈反差，激发学生强烈的探究欲和学习兴趣，通过观察、实验、猜想、论证，引领学生体验逻辑推理证明的必要性．

二、解法探索

分析 在上述问题中，把一个正方形剪成几块后，再拼成一个长方形时，面积增加了1，这是为什么呢?原因是这样的:在图2中4块图形没有填满整个长方形，中间还留有一条狭缝，这条狭缝的面积正好是1，它与整个长方形的面积比的比值很小，拼时不易察觉(在图3中，我们故意把空隙部分画大了)．因此我们才能错误地认为面积增加了1．

怎样知道图3中的长方形中间留着空隙呢?其实只要证明A、G、C三点不在同一直线上即可．

方法一:利用勾股定理的知识解决

方法二:利用相似三角形知识解决

方法三:利用三角函数的知识解决

方法四:利用坐标法解决

建立如图4的平面直角坐标系，则A(0，5)，G(8，2)，C(13，0)．

设AC的方程为:y=kx+b，

把A(0，5)，C(13，0)代入得:

∴A、G、C三点不在同一直线上．

评价:(1)本题立意新颖，取材贴近学生实际，能立刻引起学生的好奇心，并激起学生探索的欲望，使学生积极主动地投入到问题的解决中去．

(2)通过探求多种解法，可以使学生的基础知识，基本技能得到训练，能力得到增强，智力得到开发．在寻求多种解法时，要引导学生分析，防止乱碰，使问题的解决更有条理．

(3)义务教育的一个重要任务，是让学生有后续教育的基础．因此本题从长远发展的角度思考也是很有价值的，即让学生初步具有解析法的意识．

3．链接中考

如图5，将正方形沿图中虚线(其中x＜y)剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼成一个矩形(非正方形)．

(1)画出拼成的矩形的简图;

分析 本题的背景是前面的课本中的课题学习题，考查相似三角形的判定、相似三角形的性质及应用;考查学生对图形的认识以及三点共线的本质属性的理解．

典型错误:(1)拼图错误．比较典型的错误有以下几种:

图6－1、6－2、6－3必须满足x+y=y，由于x、y均不为0，显然不对;图6－4中的三角形较大直角边的长为x +y，从而出现直角边与斜边相等，显然也不对．

(2)不能把握拼图变换过程中“面积不变”这一特点，列不出含有x、y的等式．

解答:(1)如图7

说明:其它正确拼法可相应赋分．

(2)解法一:由拼图前后的面积相等得:［(x+y)+y］y =(x+y)2．

四、思考

(1)选择一个好的课题是成功进行数学实验活动探究性教学的关键，好的课题应是学生感兴趣，能引发学生的认知冲突，不是难题、怪题和偏题，而是在教师的引导下能够探索的问题，并且要能体现数学的价值．

(2)我们常常困惑于难以找到数学实验活动探究性学习的素材，其实课本就是我们向学生展开数学实验活动探究性学习的不竭源泉．在课堂教学中，我们以课本例习题为生长点，引领学生纵深思考，主动参与，对拓展学生思维水平;培养学生自主探索、自主学习能力将起到不可估量的作用．

(3)观察、实验、猜想、论证是提高教学有效性的一种重要模式，它符合人们认识问题、解决问题的一般规律．在课标教学中，采取直觉加论证的模式，将合情推理与演绎推理相结合，有利于培养学生创新精神和实践能力．

(4)测量、观察、剪拼等探索，能帮助我们发现一些结论，但是不能替代演绎证明．结论是否正确还需通过演绎证明．

(5)随着素质教育的不断深化，为进一步体现《数学课程标准》的理念，中考命题的趋势将是“源自教材，但高于教材，题在书外，但根在书里”．因而在课堂解题教学中，需要时刻注意立足教材，回望教材，从教材中提炼数学思想方法，从而有效地提高学生的学习效率．．

G632

B

1008－0333(2017)02－0010－02