利用对称求解最值的一种方法
——从“将军饮马”说起

福建省泉州第五中学(362100) 杨苍洲 ●

利用对称求解最值的一种方法
——从“将军饮马”说起

福建省泉州第五中学(362100) 杨苍洲 ●

有这样一个传说:古希腊有一位名叫海伦的学者，有一天，一位将军向他请教了一个问题:从A地出发到河边MN去饮马，然后再回到驻地B．问怎样选择饮马地点，才能使路程最短?如何确定饮马的地点?提起路线最短的问题，大家知道:连结两点之间所有线中，最短的是线段．一位学者曾幽默地说，这一点连狗都知道．狗抢骨头吃时，决不会迂回前进，而是径直向骨头扑去．但是，这个题中马走的是一条折线．这又该怎么办呢?

问题转化为:在直线MN的同侧有两个定点A、B，试在直线MN上确定一点D使得AD+BD取得最小值?

解决方案:作点B关于直线MN的对称点B'，连结AB'，交直线MN于点D，则点D为所求点．因为BD=B'D，∴AD+BD=AD+ B'D=AB'．而选择直线MN上的任何其他点，如E点，则路程AE+BE=AE+B'E＞AB'，所以点D即为所求点．

这是利用对称求解最值的一种方法——我们常总结为“同侧和最小”．下面我们就此方法的应用举例说明．

一、在坐标系中考查

___在坐标系中，几种常见对称点的求法我们必须掌握好:

对称轴 x轴 y轴 直线y=x 直线y=－x P x0，y ()0 P1(x0，－y0) P2(－x0，y0) P3(y0，x0) P4(－y0，－x0)

掌握了上述几种特殊的对称后，我们就能熟练地求解点关于某特殊直线相应的对称点，再利用对称的性质判断出取得最小值时所在的位置．而在求解此最小值时，往往可以构造直角三角形进行求解．

例1 在平面直角坐标系xOy中，有两点P ( －1，1)，是x轴上任意一点，则PM+QM的最小值是

解析 作P ( －1，1)关于x轴的对称点 P'(－1，－1)，连接P'Q交x轴于点M，则PM= P'M，∴PM+QM=P'M+QM =P'Q，此时PM+QM取得最小值。最 小 值 为 P'Q=

二、在平面图形中考查

在平面图形中构造对称，并判断出最值位置后，需注意平面图形的几何性质，如圆的对称性、直角三角形的性质等，进而应用平面图形的几何性质求解出相应的最值．

例2 已知:AB是⊙O的直径，AB=4，点C是半圆的三等分点，点D是弧BC的中点，AB上有一动点P，连接PC，PD，则PC+PD的最小值是多少?并画出点P的位置．

解析 作点C关于直径AB的对称点C'，则 C'在圆上．∵点 C是半圆的三等分点，则∠COB=60°，∠DOC'=90°，∴PC+PD=PC'+PD=C'D=，所以PC+PD的最小值为

三、以构造法进行考查

解析 如图作AR=x，AP=2，BR=8－x，BQ=4，，于是问题转化为:在直线AB上求一点R，使它到P、Q两点的距离和PR+QR最小．作Q关于直线AB的对称点Q'，连接PQ'交直线AB于点R，则QR=Q'R，∴PR+QR=PR+Q'R=PQ'，此时PR+QR取得最小值，最小值为

四、在函数图象中考查

近年来的中考试题中，最值问题成为设计压轴题的一种常见设问，它主要与其他知识进行综合，如以抛物线为背景的最值问题在中考中就十分抢眼．解决此类问题时，可类比于上述问题的解法，作出取得最小值时的点，然后结合几何、函数等知识进行最值求解．

例5 定义一种变换:平移抛物线F1得到抛物线F2，使F2经过F1的顶点A．设F2的对称轴分别交F1、F2于点D、B，点C是点A关于直线BD的对称点．

(1)如图1，若F1:y=x2，经过变换后，得到F2:y=x2+bx，点C的坐标为，则①b的值等于___;②四边形ABCD为( )．

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形

(2)如图2，若F1:y=ax2+c，经过变换后，点B的坐标为，求△ABD的面积．

(2009浙江省绍兴市数学中考试题)

解析 (1)－2，D;(2) SΔABD=2．

(3)①当点C在点A的右侧时，设AC、BD交于点N，抛物线其 顶 点 为 A点A与点C关于直线BD对称，∴AC⊥BD，且AN=NC，∴四边形ABCD是菱形，∴PD=PB．作PH⊥AD交AD于点H，则PD+PH=PB+PH．要使PD+PH最小，即要使PB+PH最小．此最小值是点B到AD的距离，即△ABD边AD上的高故△ABD是等边三角形最小值为当点C在点A的左侧时，同理最小值为．

综上述，点P到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值为．

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