无中生圆，圆满解题

韩菲菲

[摘 要] 对于表面上纯属直线型问题的几何问题题型，抛开原始的解题思路，提取相关条件，巧添辅助圆，利用圆幂定理解题，可化繁为简，化难为易. 本文由一道竞赛题展开联想，通过几个例题来分析如何巧添辅助圆并解题.

[关键词] 辅助圆；圆幂定理；几何问题

[1992年全国联赛] 如图1，在△ABC中，AB=AC，D是底边上一点，E是线段AD上一点，且∠BED=2∠CED=∠BAC，求证：BD=2CD.

所以∠ECF=90°.

易证△EFG≌△EFC（AAS），

所以∠FEG=∠CED，GF=CF.

因为∠BEF=2∠CED，

所以∠BEG=∠GEF.

可证△BEG≌△FEG（ASA），

所以BG=GF=CF.

所以BF=2CF.

根据角平分线性质得BD=2CD.

有比较，才知优越. 我们发现方法二更完美，究其原因，在于圓. 圆是最美妙的几何图形. 圆的根基是弧，且具有完美对称性，具有很多圆幂定理，所以能用好圆，领悟圆，会让我们解题举重若轻，充满创造性. 在处理平面几何中的许多问题时，需要借助圆的性质使问题得以更好地解决，但是我们所需要的圆却并不存在，这就需要我们利用已知条件，做到“无中生圆”.

下面结合几个例题简单地谈一下如何根据具体情境生圆，做到圆满解决.

利用圆的定义生圆

解析 因为AB=AC=AD，所以以点A为圆心，AB为半径作圆，点B，C，D均在圆上. 利用△ABC为等腰三角形，且AE为中线得到AE为高，又因为AE=EC，由圆周角定理等条件计算得到∠EAC=45°，∠BAC=90°，∠BDC=45°，∠DBC=30°.

此时只需对△DBC进行分析即可，得到BC=12，所以AB=12.

利用直径所对的圆周角是直角

的条件生圆

例2 如图5，已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是边AB上的动点，Q是边BC上的动点，且∠CPQ=90°，求线段CQ的取值范围.

利用四边形对角互补生圆

例3 如图7，在矩形ABCD中，AB=6，以点B为直角顶点作等腰直角三角形BEF，连接AE，AF，当AE⊥AF且AE︰AF=1︰2时，AE的长是多少？

解析 由∠EAF+∠EBF=180° 可得点A，E，B，F四点共圆，再结合托勒密定理可以得到AB·EF=AE·BF+BE·AF.

设AE=x，代入得到方程

同底同侧张等角生圆

例4 如图8，在△ABC中，CE⊥AB，BD⊥AC，∠A=60°，求证：BC=2DE.

类似以上这样的，表面上纯属直线型问题，但利用直线型的有关知识解答会很繁杂，甚至有的很难找到解决问题的思路和途径. 但如果对题设进行认真分析，仔细观察图形，便可挖掘题设中所蕴含的内在条件，提取相关条件，巧添辅助圆，沟通与圆的内在联系，调取圆内的相关圆幂定理和性质，为解题提供了新的途径，把圆的有关性质在解题中进行运用，可化繁为简，化难为易.