两种毛管压力模型对比的储层孔隙结构分形研究

刘银山



两种毛管压力模型对比的储层孔隙结构分形研究

刘银山

（陕西延长石油（集团）有限责任公司研究院，陕西 西安 710075）

基于多孔介质分形理论进行Li-Horne 毛管压力模型和 Brooks-Corey 毛管压力模型的推导， 证明Brooks-Corey 毛管压力模型为 Li-Horne 毛管压力模型的一种特殊形式。并利用两种毛管压力模型对北部湾盆地不同渗透率岩样的压汞曲线进行拟合，获得孔隙大小分布指数来评价储层的非均质程度，由于Brooks-Corey 模型适用于均质储层，而 Li-Horne 模型对于均质、非均质储层均适用，所以 Li-Horne 模型拟合结果好于 Brooks-Corey 模型。同时，根据 Li-Horne 模型推导出多孔介质孔隙分布的分形概率模型，其指数与分形维数有关，利用该模型计算的孔喉尺寸分布与压汞曲线获得的结果一致。

分形维数；孔隙大小分布指数；毛管压力模型；孔隙概率分布函数

20 世纪80年代初，法国数学家 Mandelbrot 创立了分形几何学，并在《自然分形几何》中引入分形概念。分形的重要特征是自相似性（也称标度不变性），即分形的局部与整体以某种方式相似，而分形的整体不随测量尺度变化； 维数是确定几何对象中一个点位置的独立坐标数目，由于欧拉几何空间中维数为整数，因此，无法确定无序的不规则物体的维数。

1985 年，Katz 和 Thompson 采用扫描电镜（SEM）研究砂岩的分形特征，并提出基于分形统计数据预测岩石孔隙度的方法[1-3]；1986 年，Wong 等人利用小角度中子散射（SANS）研究沉积岩的微观结构，发现砂岩和页岩的孔隙空间由于粘土矿物的存在而呈现分形特征[4-5]；1987年，Friesen 和 Mikula 提出了一种利用压汞数据推断煤颗粒分形维数的方法[6]；1988 年，Hansen 和 Skjeltorp 指出岩石的渗透率与分形维数有关；1992年，Angulo 和Gonzalez提出另一种利用压汞数据推断分形维数的方法[7,8]；1994 年，Shen和李克文指出：与大孔隙有关的多孔介质部分不具有分形特征，而与小孔隙相关的多孔介质部分具有分形特征[9]；2003年，李克文和 Horne发现 Brooks-Corey 模型对裂缝性砂岩不适用，并提出 Li-Horne 毛管压力模型来获取多孔介质的分形维数[6-9]。

综上所述，推断岩石分形维数的主要方法有：扫描电镜法（SEM）、小角度中子散射法(SANS)、薄片法和压汞法。压汞法主要通过毛管力模型拟合压汞曲线获得分形维数，毛管压力模型主要有：Corey 模型（1954 年）、Thomeer 模型（1960 年）、Brooks-Corey 模型（1964年）、Van Genuchten 模型（1980 年）、 Skelt-Harrison 模型（1995 年）、Jing-Van Wunnik 模型（1998 年）、Li-Horne 模型（2003年）[10-12]等。目前 Brooks-Corey 模型和 Li-Horne 模型比较常用。

1 多孔介质的分形理论

在分形理论中，维数可以是整数，也可以是分数，简称分形维数， 它是描述分形的最基本的特征量。根据分形几何理论，孔隙数目()与半径之间有如下的关系：

式中：D—分形维数。

多孔介质的油气储集空间与渗流空间由孔隙和孔隙间的喉道组成，孔喉的空间分布具有统计的自相似性，即某一部分放大之后与较大部分具有相同的概率分布，可以用随机分形描述。对于单根圆柱形毛细管，其半径为、长度为，则体积为π2。根据毛细管模型，()的表达式如下：

式中：—毛细管长度；

联立式（1）和式（2），可得：

假设长度不是半径的函数，对于三维孔隙空间，假设=，则：

由于毛管压力与孔喉半径成反比，所以式（4）可以变为：

2 毛管压力模型推导

含汞饱和度=汞侵入岩样的总体积/岩样的孔隙体积，则：

式中：—常数。

当Hg从 0 增加到 0+时，毛管压力相应的从 0 增加到P，根据式（6），可得：

其中，ε为接近于 0 的无限小的正数。

当毛管压力为max，Hg为最大值，根据式（6），可得：

式中：Hg∞—最大含汞饱和度；

max—在Hg∞时的最大毛管压力。

联立式（ 6）-式（ 8），可得：

由于ε趋于0，对于湿相饱和度， 式（9）可简化为：

式（10）可简化为：

则：

该模型为 Brooks-Corey 毛管力模型。

综上所述，Brooks-Corey 模型是 Li-Horne 模型的一种特殊形式。 当=1 时，Li-Horne模型简化为自吸毛管压力模型；当=0 时，P=max，Li-Horne 模型简化为单根毛细管模型。

3 孔隙分布的分形概率模型

汞的表面张力为 480 mN/m，润湿角为 140°，故毛管压力与孔喉半径的关系为：

对式（14）求导，可得：

对式（11）求导，可得：

根据式（14）-（16），孔隙概率分布函数()表达式为：

4 实例分析

图 1为利用Li-Horne 模型和 Brooks-Corey 模型对北部湾盆地四个样品的毛管压力曲线进行拟合，其拟合结果如表 1 所示。

由于样品 A 和 B 比较均质，样品 C 和 D 非均质性强，并且 Brooks-Corey 模型适用于均质储层，Li-Horne 模型对于均质、非均质储层均适用，因此， 对于样品 A 和样品 B，两个模型的拟合效果相差不大；对于样品和样品D， Li-Horne 模型的拟合效果好于 Brooks-Corey 模型。

表 1 两种模型拟合参数对比表

多孔介质具有如下性质：分形维数越小，孔喉表面越光滑，均质性较强，岩石的储集性能越好；分形维数越大，孔喉表面越不光滑，储集性能越差， 岩石分形结构越复杂，非均质性越强。根据这一性质，对北部湾盆地不同渗透率岩石的岩样的非均质性进行研究。 图 3 为利用 Li-Horne 模型对北部湾盆地不同渗透率岩样的毛管压力曲线拟合图，其拟合结果如表 2 所示。

图 3 北部湾盆地不同渗透率岩样的毛管压力曲线拟合图（Li-Horne 模型）

根据表 2 拟合结果，初步认为：北部湾盆地储层分形维数与孔隙度和渗透率没有明显关系；利用 Li-Horne 毛管压力模型能够很好的拟合北部湾盆地不同渗透率的毛管压力曲线，气相关系数大于0.9。

表 2 北部湾盆地不同渗透率岩样的毛管压力曲线拟合结果

图 4 为样品 5 孔隙大小分布柱状图。模型计算结果与毛管压力曲线求孔隙大小分布的结果一致，说明该孔隙分布的分形概率模型比较可靠。

图 4 样品 5 孔隙大小分布柱状图

5 结 论

（1）基于多孔介质的分形理论对 Li-Horne 模型进行推导，发现 Brooks-Corey 模型是 Li-Horne模型的一种特殊情况。

（2）Brooks-Corey 模型适用于均质储层，而 Li-Horne 模型对于均质、非均质储层均适用。

（3）基于 Li-Horne 模型推导出孔隙概率分布函数，该函数是关于孔喉半径的幂函数，其指数与分形维数有关。通过计算分形维数可以直接获得孔隙概率分布函数，从而可以得到孔隙大小分布。相对于直接由压汞曲线获得孔隙大小分布，孔隙分布的分形概率模型简单易行，并且精度较高。

[1] 贺承祖,华明琪.储层孔隙结构的分形几何描述[J].石油与天然气地质,1998,19(1):17-23.

[2] 马新仿,张士诚,郎兆新.储层岩石孔隙结构的分形研究[J].中国矿业,2003,12(9):46-48.

[3] Angulo, R.F., Gonzalez, H. Fractal dimensions from mercury intrusion capillary tests. SPE 23695,Presented at the 2nd Latin American Petroleum Engineering Conf.of SPE Held in Caracas, Venezuela,March 8–11, 1992.

[4] Brooks R H,Corey A T.Hydraulic properties of porous media[C].Colorado State University： Hydro paper No.5,1964．

[5] Li Kewen. Theoretical development of the Brooks-Corey capillary pressure model from fractal modeling of porous media[A].SPE 89429,2004．

[6] Li, K., Horne, R.N. Fractal characterization of The Geysers rock. Proceedings of the GRC 2003 annual meeting, October, 2003, Morelia, Mexico: GRC Trans.V.,vol.27.

[7] Li, K. Characterization of rock heterogeneity using fractal geometry. Proceedings of the 2004 SPE Western Region Meeting, Bakersfield, CA,USA, March 16–18, 2004. SPE 86975.

[8] Katz, A.J., Thompson, A.H. Fractal sandstone pores: implications for conductivity and pore formation. Phys. Rev. Lett. 54, 1325–1328.

[9] Krohn, C.E. Fractal measurements of sandstones, shales, and carbonates. J. Geophys. Res. 93 (B4), 3297–3305.

[10] Lenormand, R. Gravity-assisted inert gas injection: micromodel experiments and model based on fractal roughness. The European Oil and Gas Conference, Altavilla Milica, Palermo, Sicily, October 9–12.

[11] Wong, P., Howard, J., Lin, J.S. Surface roughening and the fractal nature of rocks. Phys. Rev. Lett. 57, 637–640.

[12] Shen, P., Li, K. A new method for determining the fractal dimension of pore structures and its application. Proceedings of the 10th Offshore South East Asia Conference, Singapore, 1994.

Fractal Research on Reservoir Rock Pore Structure Based on Two Kinds of Capillary Pressure Models

（Research Institute of Yanchang Petroleum (Group) Co.,Ltd., Shaanxi Xi’an 710075, China）

Based on fractal theory of porous media, Li-Horne capillary pressure model and Brooks-Corey capillary pressure model were deduced. It's proved that Brooks- Corey capillary pressure model is a special form of Li-Horne capillary pressure model. Through using two kinds of capillary pressure models, mercury injection curves of different permeability rock samples from Northern Gulf Basin were fitted. Pore size distribution index was obtained to evaluate heterogeneity of the reservoir. Because Brooks-Corey model is for homogeneous reservoir and Li-Horne model is applicable for homogeneous and heterogeneous reservoirs, fitted results of Li-Horne model are better than those of Brooks-Corey model. At the same time, pore size distribution model of porous media was deduced according to Li–Horne model, the index of which related with the fractal dimension. Pore size distribution calculated by the model is consistent with the result obtained by using mercury injection curves.

fractal dimension; pore size distribution index; capillary pressure models; pore size distribution function

2017-05-09

刘银山（1988-），男，工程师，硕士，湖北孝感人，毕业于中国地质大学（北京）能源学院，从事石油开发及资源储量评价。

TE 122

A

1004-0935（2017）07-0673-04