圆锥曲线顶点曲率半径的物理解法

吴晓松

(重庆市涪陵第五中学 重庆 408000)

圆锥曲线顶点曲率半径的物理解法

吴晓松

(重庆市涪陵第五中学 重庆 408000)

用数学方法的曲率半径公式可以求出各类圆锥曲线在其顶点处的曲率半径，但是真要具体求解的话需要涉及对变量的一阶求导和二阶求导，从而使得曲率半径的表达式看起来比较繁杂，为此撇开数学的角度，从纯物理的方法来求解圆锥曲线顶点处的曲率半径．

圆锥曲线 曲率半径 物理解法

下面就用这种求速度和加速度的物理方法来求解圆锥曲线顶点处的曲率半径．

1 椭圆顶点的曲率半径

x=acost

y=bsint

在顶点(a,0)处的线速度就是y方向的分速度，即

在顶点(a,0)处的法向加速度就是x方向的加速度，即

故

同理，在顶点(0，b)处的线速度就是x方向的分速度，即

在顶点(0，b)处的法向加速度就是y方向的加速度，即

故

2 双曲线顶点的曲率半径

在顶点(a,0)处的线速度就是y方向的分速度，即

顶点(a,0)处的法向加速度就是x方向的加速度，即

故

3 抛物线顶点的曲率半径

抛物线的标准方程为：y2=2Px，现构造一个赋予物理含义的参数方程．若一个质点在x方向做初速度为零，加速度an=4P的匀加速直线运动，在y方向做v=2P的匀速直线运动．即

y=vt=2Pt

那么该质点的合运动轨迹便为抛物线了．显然在t=0时刻其顶点(0，0)处的曲率半径为

4 结束语

本文先把圆锥曲线的标准方程换成了一组赋予物理含义的参数方程，再通过参数方程求得其在顶点处的线速度v和法向加速度an，然后利用匀速圆周运动向心加速度的公式，巧妙地求得了圆锥曲线在其顶点处的曲率半径．显然用这种物理方法比用数学方法更加清晰和简洁，并且物理意义凸显．值得说明的是用本文的方法还可以求出其他一些曲线在某些特殊位置处的曲率半径，关键就在于怎样去合理构建一组简洁且具有物理意义的参数方程．

2016-07-13)