结合数学史的负数概念教学

广州市越秀区育才学校(510080) 谢启敏

广州大学数学与信息科学学院(510006) 汤志娜

结合数学史的负数概念教学

广州市越秀区育才学校(510080) 谢启敏

广州大学数学与信息科学学院(510006) 汤志娜

1.问题提出

有理数在初中数学学习中是至关重要的一章,为后面的数学学习提供了一个基础,大部分的教材都是将其放在七年级第一章进行教学,在数学课程标准对有理数的教学有明确的规定:

①理解有理数的意义,能用数轴上的点表示有理数,会比较有理数的大小.

②借助数轴理解相反数和绝对值的意义,会求有理数的相反数与绝对值(绝对值符号内不含字母).

③理解乘方的意义,掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步为主).

④理解有理数的运算律,并能运用运算律简化运算.

⑤能运用有理数的运算解决简单的问题.

小学阶段学生所学习的数有正数、零以及对负数的初步认识,因此对于正数和零,七年级学生已很熟悉,但对于负数,小学阶段只是对其有一个模糊的认识,很多学生难以理解,在进行有理数的运算时,由于思维定势,很多学生常常把负数中的“-”号丢掉,从而把负数当成正数来运算,因此错误不断.在教学中,学生对于负数的表面概念通常为:在正数前加入符号“-”:较小的正数减去较大数的差:比0小的数.造成这些理解错误的根本原因就是学生对于负数概念没有一个正确的认识,而对负数概念的正确认识则需要追溯到负数的产生及发展背景.所以,在有理数教学中,教师应该适当地引入数学史,潜移默化地使学生自己对负数有一个明确的概念.

2.教学中的数学史的定义及作用

在许多的访问调查中,一部分老师对于教学中运用数学史的态度为“我们主要关注升学率,数学史的运用可能会影响教学进度.”“数学史没有时间用.”“数学史的知识我们(指教师)都知道得很少,怎么用?”“数学史也就是讲讲故事、看看图片,激发一下兴趣而已吧!”“用数学史?大概得等到上公开课的时候吧?”“数学史确实对教学有促进作用,但我们用得很少,几乎不用”等看法.[2]而对于这些情况,根本原因在于教师对教学中运用的数学史有着错误的认识和理解,教学中的数学史并不是要教师和学生去重演历史发生的所有过程,对于历史发生的原理,弗赖登塔尔认为:“数学史乃是一个不断进步的系统化的学习过程.儿童无需重蹈人类的历史,但他们也不可能从前人止步的地方开始.从某种意义上说,儿童应该重蹈历史,尽管不是实际发生的历史,而是倘若我们的祖先已经知道我们今天有幸知道的东西,将会发生的历史.”弗赖登塔尔指出数学教学的基本思想是“再创造”,实行“再创造”,也就是由学生自己把发现或创造要学的东西,教师的任务是引导和帮助学生进行这种再创造,而不是把现成的知识灌输给学生.这种“再创造”并非要求数学教学完全重现数学的发展历程,而是指应该使学生体会到:如果当时的人有幸具备了现在有了的知识,他们是怎样把这些知识创造出来的.

在许多概念教学中,教师教学的规律通常可以归结为,把结果作为出发点告诉学生,推出其它知识,这种教学法通常称为“教学法的颠倒”,它掩盖了思维的过程,没有通过学生的角度出发,使学生自己难以形成概念,而通过在教学中引用上述数学史方法可以还原学生概念形成的思维过程,有效地提高学生对概念的掌握及理解.

接下来,将给出一个教材中对于有理数教学的设计,再给出一个用数学史来引入有理数的案例,对两种教法进行比较.

3.教材中的负数教学(以人教版为例)

3.1 由问题引入概念

在生活、生产和科研中,遇到的问题:

(1)北京冬季里某一天的气温为-3°C～3°C.“-3”的含义是什么?这一天北京的温差是多少?

(2)某年,我国花生产量比上一年增长1.8%,油菜籽产量比上一年增长-2.7%.“增长-2.7%”表示什么意思?

(3)夏新通过捡、卖废品,既保护了环境,又积攒了零花钱.下表是他某个月的部分收支情况.这里,“结余-1.2”是什么意思?怎么得到的?

收支情况表 年 月

结论:把数的范围扩充至有理数,研究数的表示、大小比较和运算等.

3.2 正数与负数概念

像3,1.8%,3.5这样大于0的数叫做正数

像-3,-2.7%,-4.5,-1.2这样在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数

0既不是正数,也不是负数.

3.3 练习题

4.数学史引入负数概念

4.1 负数:学生分组进行以下游戏并报告结果

问题情境1: 两个人一组摇骰子,一人两个骰子,同一轮两骰子相加总数多的胜,并累计1分,另一个则0分,五轮后累计分数多者为胜.以表格形式统计结果.

问题情境2:现在游戏增加至3人,一人两个骰子,同一轮两骰子相加总数多的胜,并累计1分,那么剩下的两个人该如何计分才能使游戏公平?你还能有其他的计分方式吗?以表格形式统计结果.

通过学生们汇报的结果,可以发现在情景2中有些学生对于每轮输的同学累计的分数记为“-1”,而对于胜和输我们都知道是一对反义词,同样的有这种相反的性质,除了正数我们就需要更多的数,类似于语文的反义词,我们把正数的相反数称为负数.

4.2 负数的产生

4.2.1 国内:刘徽首先给出了正负数的定义,他说:“今两算得失相反,要令正负以名之.意思是说,在计算中遇到具有相反意义的量,要用正数和负数来区分它们.他说:“正算赤,负算黑:否则以邪正为异”意思是说,用红色的小棍摆出的数表示正数,用黑色的小棍摆出的数表示负数:也可以用斜摆的小棍表示负数,用正摆的小棍表示正数.我国古代著名的数学专著《九章算术》(公元一世纪)中,最早提出了正负数加减法的法则:“正负数曰:同名相除,异名相益,正无入负之,负无入正之:其异名相除,同名相益,正无入正之,负无入负之.”这里的“名”就是“号”,“除”就是“减”,“相益”、“相除”就是两数的绝对值“相加”、“相减”,“无”就是“零”.用现在的话说就是:“正负数的加减法则是:同符号两数相减,等于其绝对值相减,异号两数相减,等于其绝对值相加.零减正数得负数,零减负数得正数.异号两数相加,等于其绝对值相减,同号两数相加,等于其绝对值相加.零加正数等于正数,零加负数等于负数.”这段关于正负数的运算法则的叙述是完全正确的,与现在的法则完全一致,负数的引入是我国数学家杰出的贡献之一.用不同颜色的数表示正负数的习惯,一直保留到现在.现在一般用红色表示负数,报纸上登载某国经济上出现赤字,表明支出大于收入,财政上亏了钱:又财经频道里播出股票的走势,一般用绿色字体表示跌,红色字体表示涨.

4.2.2 负数产生(国外)

出现原因地点时间人物、著作印度公元7世纪婆罗摩友多《婆罗摩历算书》解释负债与损失阿拉伯公元10 世纪艾布·瓦更一般的两位数乘法简捷算法西方公元18 世纪前方程出现负根

4.3 负数发展缓慢的原因: 十八世纪以前,欧洲数学家对负数大都持保留态度,他们认为零是最小的量,比零还小是不可思议的,看不到正负数间的关系.而导致这种观点的原因则是,类似于复数,只要一涉及实际的问题,它们就是一个虚拟的存在.

例:父亲56岁,他的儿子29岁,问什么时候徐父亲的岁数将是儿子的2倍?讨论并给出结果.

通过解答的过程可以看出如果设x年后父亲的岁数是儿子的2倍,可以得到x=-2.

如果我们设x年前父亲的岁数是儿子的2倍,可以得到x=2.

这个例子也是数学家德摩根无法接受负数的原因,同样的也可以反映出当时数学家排斥负数的原因—负数是现实不存在的.直到现代,负数才算被真正透彻的理解.

4.4 负数带来的变化:

①“0”不再是最小的数,而是正负数之间的界点,它的存在更具有重要性.

②减法运算范围更大,不再局限于大的数减去小的数.

③“+”“-”不再是简单的运算符号,他们分别表示两种互为相反的数—正负数.同时整数与分数的范围进一步扩大

④加法运算得到的结果不再局限于变大,加减法得到了统一.

⑤出现负根的方程也被接纳.

⑥在生活中,为许多记数问题提供了更多的便利.

4.5 练习题

指出下列运算过程中的“+”“-”分别代表的意义

①+5+(-3)=5-3=2

②(-9)-2=-9+(-2)=-(9+2)=-11

③-1+1=1-1=0

5.小结

对于现在普遍的教学教材来说,负数的教学都缺乏了对负数的引入,无法让学生更好的体会到先人在从负数的产生,到排斥,再到欣然接受这种虚拟数的过程,许多教授的过程就是直接给学生灌输这个概念,学生只能机械地接受,无法做到让学生自己去寻找,发现,掌握这些知识,教材直接给了“-”这个符号,然后就直接有了负数这个概念—在正数前面加“-”,这样的一个冷冰冰的结果,而学生的学习过程应该是一个生动、渐进的过程,如同负数的出现在人们的眼球,它为何而来,有何用,人们为何会接受它,学生的学习也需要这样一个过程,虽然没那么复杂,但却赋予其生命力.数学史的学习可以帮助教师去引导学生在学习数学中进行这样的学习过程.John Fauvel总结了数学史的各种用法如下:(1)介绍历史上数学家的故事:(2)运用历史引入新概念:(3)促使学生理解,为他们所学概念提供解答的历史问题:(4)讲授数学史课:(5)利用历史上的数学教材设计课堂练习和作业:(6)举办历史主题的展览:(7)运用历史上的典型例子来说明方法和技术:(8)探索过去的错误、另类观点以帮助今天的学习者理解并解决困难:(9)借鉴历史设计一个话题的教学方法: (10)基于历史信息进行课程的整体设计.

大众数学是当今数学教育的目标,利用数学史引导学生学习的教学方法是非常值得研究,对其进行改进,实施到教学活动中,培养学生的思维能力过程,让学生自主地在学习过程中挖掘知识,学生学习的应该是过程的体会而不是结果.