Levy噪声下的随机食饵有限模型

(1.长春大学理学院，吉林 长春 130022；2.延边大学数学系，吉林 延吉 133002)

Levy噪声下的随机食饵有限模型

张秋梅1，文香丹2

(1.长春大学理学院，吉林 长春 130022；2.延边大学数学系，吉林 延吉 133002)

研究了Levy噪声下的随机食饵有限模型，在系数满足一定条件下得到该模型正解的存在唯一性，并分析了该模型解的渐近行为，最后用数值模拟验证了得到的结论.

食饵有限；Levy噪声；渐近稳定

0 引言

Smith[1]在1963年研究水蚤增长时提出了著名的食饵有限模型

(1)

其中x(t)代表种群的密度，常数r和K分别代表种群的增长率和环境容纳量.近年来，许多学者对随机生物模型的研究产生了浓厚兴趣，[2-4]其中文献[4]考虑环境白噪声对系统(1)的影响，讨论了扰动模型正解的存在唯一性和全局稳定性.显然种群可能遭受突发性的环境扰动，如地震、飓风、传染病等，然而以前研究的随机种群模型不能解释这种现象.为此，Levy跳跃过程的引入为研究种群动力学提供了一个可行的、更逼真的模型，Bao等[5-6]在这方面做了开创性的工作.在给出的带跳跃的随机种群模型中，得到的结论显示Levy跳跃过程可能对系统的性质有显著影响.

基于以上想法，本文研究Levy噪声下的随机食饵有限模型

(2)

1 正解的存在唯一性

定理1 假设(A)成立，则对任意给定的初值x0∈(0，K)，系统(2)存在唯一正解x(t)，t≥0， 并且该解以概率1位于R+.

证明 考虑具有初值v(0)=logx(0)的方程

(3)

显然方程(3)的系数满足局部Lipschitz条件，故系统存在唯一局部解v(t)，t∈[0，τe)，其中τe表示爆破时间.由It公式容易验证x(t)=ev(t)是系统(2)具有初值x0的正解.下面要证明解是全局存在的，只需证明τe=∞ a.s.定义函数，由It公式得

由Taylor公式和假设(A)可知存在θ1∈(0，1)和θ2∈(0，1)，使得

用与文献[7]类似的方法可证结果成立.

2 正解的渐近行为

定理2 令x(t)为系统(2)满足初始条件x(0)=x0∈(0，K) 的解，假设(A)成立.

由不等式 logx≤x-1(∀x>0)和假设(A)可得

则有

计算得

则有

3 数值模拟

利用文献[10]中平稳泊松点过程的方法进行数值模拟验证上面结论.选择参数K=3，C=0.5，Y=(0，∞)，λ(Y)=1.

当选取r=-0.2，α=0.3，δ=0.1时，系统(2)的数值模拟见图1.易验证

若选取r=0.2，α=0.3，δ=0.1，则系统(2)的数值模拟见图2.计算得

图1 当r=-0.2时系统(2)的数值模拟

图2 当r=0.2时系统(2)的数值模拟

从图1和图2中可以看出噪声可以使系统(2)稳定.

[1] SMITH F.Population dynamics in Daphnia magna [J].Ecology，1963，44：651-663.

[2] JIANG D，SHI N，ZHAO Y.Existence uniqueness and global stability of positive solutions to the food-limited population model with random perturbation [J].Mathematical and Computer Modeling，2005，42：651-658.

[3] 王丽顺，李海红，李海霞.随机多种群互惠系统的动力学行为[J].东北师大学报(自然科学版)，2016，48(1)：22-25.

[4] 张秋梅，文香丹，李映红.具有饱和接触率的随机SIR模型的正解存在唯一性及灭绝性[J].东北师大学报(自然科学版)，2016，48(1)：26-28.

[5] BAO J，MAO X，YIN G，et al.Competitive Lotka-Volterra population dynamics with jumps [J].Nonlinear Anal，2011，74：6601-6616.

[6] BAO J，YUAN C.Stochastic population dynamics driven by Levy noise [J].J Math Anal Appl，2012，391：363-375.

[7] GRAY A，GREENHALGH D，HU L，et al.A Stochastic differential equation SIS epidemic model[J].SIAM J Appl Math，2011，71：876-902.

[8] MAO X R.Stochastic differential equations and applications [M].Chichester：Horwood Publishing，1997：51-59.

[9] LIPSTER R.A strong law of large numbers for local martingales [J].Stochastics，1980，3：217-228.

[10] ZOU X，WANG K.Numerical simulations and modeling for stochastic biological systems with jumps [J].Commun Nonlinear Sci Numer Simulat，2014，19：1557-1568.

(责任编辑：李亚军)

Stochastic food-limited population model by Levy noise

ZHANG Qiu-mei1，WEN Xiang-dan2

(1.School of Science，Changchun University，Changchun 130022，China；2.Department of Mathematics，Yanbian University，Yanji 133002，China)

The present paper deals with the problem of a stochastic food-limited population model by Levy noise.The existence and uniqueness of solutions are established under appropriate conditions on the coefficients.Then the asymptotic behaviors of this model are analyzed.Numerical simulations for a set of parameter values are presented to illustrate the analytical findings.

food-limited；Levy noise；asymptotic stability

1000-1832(2016)04-0040-05

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.04.009

2015-07-13

国家自然科学基金资助项目(11601038)；教育部“春晖计划”资助项目(Z2015014)；吉林省教育科学“十二五”规划课题项目(GH150104)；吉林省教育科学“十三五”规划课题项目(GH16103)；吉林省教育厅“十二五”科学技术研究项目(吉教科合字[2015]第10号，2014LY508L40)；吉林省自然科学基金资助项目(20140101005JC).

张秋梅(1980—)，女，博士，讲师，主要从事随机微分方程研究；通信作者：文香丹(1965—)，女，硕士，教授，主要从事应用概率统计和优化理论研究.

O 211.63 [学科代码] 110·6460

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