沧海横流方显英雄本色
——2016年浙江高考数学理科第20题的解法、背景探究及建议

☉浙江省杭州市富阳区新登中学 吴大钟

沧海横流方显英雄本色
——2016年浙江高考数学理科第20题的解法、背景探究及建议

☉浙江省杭州市富阳区新登中学 吴大钟

2016年高考已经落下帷幕，作为传统高考的最后一年，社会各界对浙江省高考的关注度前所未有.如何收关传统高考、平稳过渡到新高考，又如何引领新高考，在今年的试卷中可初见端倪.对于2016年浙江高考数学试题，笔者总体感受是“题型稳、入口宽、坡度缓、立意精准、稳中有新、关注思维、凸显能力”.在知识点考查、试题结构、材料选取、语言表述、命题立意、思想内涵等方面都呈现了这些特点.

笔者有幸参加了2016年浙江省数学学科的阅卷工作，并有机会与命题组专家交流，受益匪浅.下面就理科卷第20题的解法进行整理并评析，对此题的背景谈一些体会与思考，希望对下一轮高三复习有所帮助.

一、解法探究

（Ⅱ）任取n∈N*，由（Ⅰ）知，对于任意m＞n，都有，故|an|＜，从而对任意m＞n均有|an|＜2+）m·2n.因为当m→+∞时，由m的任意性可得|an|≤2.

评析：这是命题组提供的参考答案.此解法是从绝对值三角不等式入手，结合数列方法解决.该法起步低、坡度缓，比较容易想到.此法还有考生将有理式递推关系变为整式递推关系过程类似，这里不多加阐述.

（Ⅱ）任取n∈N*，由（Ⅰ）知，对于任意m＞n，|am|≥ 2m-n（|an|-2），即，故|an|≤2+，当m→+∞时，由m的任意性可得|an|≤2.

评析：此法利用待定系数或配凑得出类递推公式|an+1|-2≥2（|an|-2），注意此处不能写为累乘，因为符号未知，不等号可能会发生变向，而要用递推关系不断迭代得出结果.第（Ⅱ）小题的证明则是利用第（Ⅰ）小题的结论顺势证明，比较自然.

解法3：（Ⅰ）由|an|，故2|an|-|an+1|≤ 2，得到递推关系|an+1|≥2|an|-2，用迭代法可知|an|≥2|an-1|-2≥2（2|an-2|-2）-2=22|an-2|-4-2≥…≥2n-1|a1|-（2+4+8+…+

2n-1）=2n-1|a1|-（2n-2）≥2n-1|a1|-2n+2≥2n-1|a1|-2n=2n-1（|a1|-2）.

（Ⅱ）同解法2.

评析：此法看似与解法2类似，其实本质上有很大区别，递推过程需要不断迭代，尤其要注意在递推关系给出后，要将后面等比数列累加求和，类似于|an|≥2|an-1|-2≥…≥2n-1（|a1|-2）的写法都不予给分.

（Ⅱ）假设|an|＞2，由（Ⅰ）知，对于任意p∈N*，|an+p|≥ 2p（|an|-2），因为，对任意正整数n，右边为确定的正数，记为f（n），取m=，则有m＞0，而当p→∞时，也就是一定会存在一个p使得，与题设矛盾，故|an|＞2不成立，即|an|≤2.

评析：此法用绝对值三角不等式的顺序与前几种方法有所不同，但结果一样.在第（Ⅱ）小题采用了反证法，更符合学生的思维习惯.还有一些解法，是以上4种解法的变形或者杂糅，不做累述.

二、背景探究

本题秉承了浙江省数学高考题的一贯特点：叙述简洁、概念清晰、思维深刻、解法多样等.“入手容易深入难”，由“知识立意”提升至“能力立意”，意蕴深邃，平淡之中显新意.在初看此题时是一个数列的上下界估计的问题.笔者感觉似曾相识，在与命题组专家交流后，印证了笔者的想法.原来此题的背景是人教A版教材必修一第95页第三章“函数模型及其应用”中的例1——投资收益模型（图1）.，以此作为题干条件.第（Ⅰ）小题的问题|an|≥2n-1（|a1|-2），其实是最终的回报不低于2n-1|a1|-2n，即数列的下界.

图1

第（Ⅱ）小题中，如果不加条件，最终的回报很有可能指数爆炸无限上升，所以加了一个限制条件|an|≤

根据试题命制双向细目表，第20题要考查的核心知识是数列、函数、不等式，考查的能力立意是推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.命题组专家在编制此题时，选择把目光投向教材，巧妙地选取了人教A版教材必修一第95页第三章“函数模型及其应用”中的例1中的方案三：翻倍回报即指数函数模型，在保持数学思想的基础上进行创新拔高.设前一年的回报为an，后一年的回报为an+1，若an+1是an的两倍，那么2an-an+1=0.但是在现实生活中，常常存在一定的误差，将误差范围控制在2以内，得到|2an-an+1|≤2，即，就使得最终的回报也就是an的最大值不超过2，即数列的上界.

这道压轴题兼具函数和数列思想，具有科学性和生活气息，使人回味无穷，是一道不可多得的好题.众所周知，第20题作为整张试卷的压轴题，起到了选拔优秀的、有潜力学生的功能，会有一定难度，但是一旦看破此题的背景与本质，解决起来也就比较顺利.正所谓沧海横流方显英雄本色.

三、几点建议

基于今年浙江高考数学理科第20题解法探究和背景分析、试题命制的过程，无疑给我们平时的教学提供了有益的启示.

1.立足课本，突出数学思想地位

以本题为例，命题组专家称此题是课本的“福利”，再一次传递出一个信息：盲目的题海战术，已适应不了当前的高考.教学要回归教材，但是回归教材不是喊口

号，高考题不可能出现与课本题一模一样，甚至形式一样都很少，但是数学思想一定是一脉相承，此题启发我们在回归课本，研究课本时，不能浮于表面，而要立足教材、活于教材、高于教材.

2.注重渗透，提升数学核心素养

从阅卷的情况看，学生基础知识、基本技能的掌握情况不容乐观，主要表现为概念模糊、公式记错、计算出错、复杂运算不能转化、分类不明、基本的解题书写规范亟待改进.

平时教学中要注重反思、重视思维的渗透，善于揭示数学思想的本质，在培养学生的思维能力，提升学生数学核心素养上下功夫.

3.有本之木，尝试科学命制试题

命制试题让能我们的教学成为有本之木，有源之水.一线教师应该积极尝试自主命题.命制试题的过程需要研究高考题，可以先尝试模仿和改编高考试题，然后再进一步进行原创.教材和生活是命题灵感的来源.建议多一些理论学习，多一些实践，将知识、方法、能力落实到具体的题目，提高立意.命制试题是科学也是艺术，命题者需要将理论与实践想结合，同时也是青年教师提高自身专业素养的重要途径.

1.许晓天.立足“标本”评析试题——安徽2013年高考理科压轴题的分析与反思［J］.中学数学（上），2013（9）.

2.林望春.基础与能力并重应用与创新共存［J］.中学数学研究，2012（6）.

3.卢涛.高考命题教材探源——从2012年福建省高考数学理科卷第17题谈起［J］.中学数学（上），2013（1）.F