一道课本例题的教学探究

☉江苏省如皋市第二中学 何敏

一道课本例题的教学探究

☉江苏省如皋市第二中学 何敏

在高中数学课堂教学中，教材中的例题、习题的解答是学生获得系统知识的主要来源.因此，如何充分展示每道例习题的教学功能成为了摆在每位数学教师面前的一个核心课题.笔者认为，教师要充分发挥每道例习题的教学功能，应该深入挖掘例习题的内涵，引导学生对教材中的一些典型例习题进行一题多解、变式推广、归纳猜想、类比迁移等多方面的探究，调动每一位学生学习数学的积极性，使不同层次学生的数学思维能力都得到提升，从而逐步培养学生探究精神和创新意识.笔者在教学实践中，从一道课本例题出发，对此题进行了推广探究，希望能给高三复习提供一些思路.

一、例题呈现

例1已知O是直角坐标原点，点A，B是抛物线y2= 2px（其中p＞0）上异于顶点的两个点，且OA⊥OB，OM⊥AB并相交于点M，求点M的轨迹.（人教A版4-4第33页）

原题解答是用参数方程，笔者给出另一种解法，并就此推出一般结论.

解：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为x=ky+n.代入y2=2px并整理，得y2-2pky-2pn=0，因此y1+y2=2pk，y1y2=-2pn.从而x1x2=-2pnk2+2pnk2+n2，因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，即n2-2pn=0，因为n≠0，所以n=2p.因此直线AB经过定点（2p，0），由OM⊥AB可知，点M的轨迹是圆（x-p）2+y2=p2.

二、推广探究

若将原题中的抛物线改为圆，其余条件不变，又有什么结论？经过推理论证可得：

命题1若O是直角坐标原点，点A、B是圆C：x2+y2= R2上的两个点，且OA⊥OB，OM⊥AB于点M，则点M的轨迹是圆

图1

证法1：如图1，连接OB，OA则由已知可知OM是等腰直角△的斜边AB上的高，所以OM=R.故点M的轨迹是圆x2+，

证法2：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的方程为x=ky+n，代入圆C的方程并整理，得（1+k2）y2+2kny+n2-R2=0，因此

若将原题中的抛物线改为椭圆、双曲线，其余条件不变，则结论又如何？仿上面的证明可得：

证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为x=ky+ n，代入椭圆L的方程并整理，得（a2+b2k2）y2+2knb2y+b2（n2-a2）=0，因此y1+y2=-

由OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0，

命题3若A、B是双曲线L

其证明与命题2的证法完全类似，故此处略去.

由上面的证明可知：直线AB始终是点M的轨迹的切线，因此可以得到：

命题4过圆C1：x2+y2=R2上任一点A作圆C2：x2+y2=的切线交C于另一点B，则OA⊥OB.

1

命题5过抛物线L：y2=2px（p＞0）上异于顶点的任一点A作圆C：（x-p）2+y2=p2的切线交L于另一点B，则OA⊥OB.

命题7过双曲线L的切线交L于另一点B，则OA⊥OB.

命题4～7的证明留给读者自己去完成.

经过探究发现，命题4～7的逆命题也成立，即有：

命题8过圆C1：x2+y2=R2上任一点A作直线l交C1于另一点B，若OA⊥OB，则l是圆C2：x2+y2=的切线.

命题9过抛物线L：y2=2px（p＞0）上异于顶点的任一点A作直线l交L于另一点B，若OA⊥OB，则l是圆：（xp）2+y2=p2的切线.

作直线l交L于另一点B，若OA⊥OB，则l是圆C：x2+y2=的切线.

命题8～11的证明请读者自己去探究完成.

三、应用举例

（1）求b2的值；

（2）求|AB|的取值范围.

四、几点思考

对课本中典型例、习题的探究，不仅能丰富我们的研究资源，而且能获得与之相关的新命题，从而达到培养学生的探究能力和应变能力的目的，起到使学生重视课本中例、习题的作用.下面结合笔者的教学实践，谈谈自己对数学复习的几点思考.

1.揭示概念本质，提升学生认知水平

由于课本中不少数学概念，反映了数学知识的本质属性，蕴含着思维的细胞，是数学内容的基石.高三数学复习中教师要揭示数学概念的本质，对课本中的概念给予足够的重视，并结合学生主体认知功能，立足于理解好概念，用好概念，才会使我们复习数学的目的明确、方法对头，提升学生的认知水平，才能使数学复习质量得以提升.

教师在概念复习时需要要帮助学生足够重视课本，揭示概念的本质，拓展概念的内涵和外延，关注其基本特征和概念表征的多元化，引导学生加强对数学知识背景及数学本源的挖掘.在概念本质探究中力争透过纷繁的现象看清问题的本质，要从变的现象中发现不变的本质，从不变的本质中探究变的规律，只有这样的复习教学才能使解题更具有深度和广度，才能提升学生的认识水平，实现数学复习质量的提升.

2.再现知识形成过程，提升学生思维能力

数学概念是数学理论的核心，故教学时就要突出数学定义、公式、定理的来龙去脉和表达形式，了解它们的区别和联系，再现知识的形成过程.虽然高一、高二都有所涉及，但经过这么长时间，学生都有些遗忘，这些都需学生复习时重视课本，拓展思路，并逐步学会如何运用这些知识来分析和解决问题.关注对数学本质的考查，这能在一定程度上有效的规避模式化的解题，抑制题海战术，实现数学复习质量的提升具有重要作用.

对于联系密切的公式群，一定要让学生经历公式的推导和建构，对于数学复习起到事半功倍的作用，是解决问题的根本.在复习教学时，要足够重视课本，对课本中的定义、定理、公式等基础知识和基本技能，做到知其然知其所以然，探究他们的形成过程，提升学生的思维能力，方能实现数学复习质量的提升.

3.典型例题重点分析，提升学生解题策略

课本是课程标准的具体体现，课本中的例习题是教材编写组专家精挑细选出来的精品，不少高考试题都是命题人员对课本例习题加工改编而成的.数学复习中要有目的地选择课本中的例习题，对其条件和结论进行重点分析，剖析思维方法形成过程，有效帮助学生提升解题策略.

例题教学是复习课的主旋律，如何用好课本的典型例题是复习数学能否更加优质、实效的关键，发挥例题的思维策略，达到“做一题、带一类、连一片”的效果，能有效实现课本典型例题的示范性功能，提升解题的质量.

4.渗透数学思想方法，提升学生数学综合能力

多年来结果表明，高考数学试题都在体现“考查基础知识的同时，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查”的命题指导思想，常常涉及的思想方法有：函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想和转化与化归的思想.而试题相当一部分来源于课本，即使是综合题也是课本例习题的组合、改编和拓展，充分体现了课本的基础作用.数学题的解答一般不需要高深的数学知识和高难度的变形技巧，而需要一定的创新意识和发散意识，因此我们有必要深入地探究课本中的习题，把握例习题的思想性的本质，提高数学素养，学会思考数学问题，提升学生数学综合解题能力，使课本中的例习题的作用发挥到极致，以达到最佳提升数学复习的质量.只有重视课本中的例习题，理解、领会它们蕴含的思想方法，通过系统的归纳总结、变式训练，才能触类旁通、由此及彼积累足够的题型，形成数学解题能力，提升学生数学综合能力，实现数学复习质量的提升.

正如数学教育家波利亚所说：“没有一道题是可以解决得十全十美的，总剩下些工作要做，经过充分的探讨与研究，总会有点滴的发现，总能改进这个解答，而且在任何情况下，我们都能提高自己对这个解答的理解水平.”笔者从一道课本习题出发进行深入探究及引申推广得到了一系列优美的结论.在教学中经常“研题”，有助于促进教师专业知识的增长，通过研究习题可以提高学生的数学解题能力，培养良好的数学兴趣，提高课堂教学的有效性.Z