从新知教学谈教学设计

☉江苏省梅村高级中学 梅红

从新知教学谈教学设计

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新知教学与复习教学不同，是一种以教材冰冷的线性材料为主体的创编式教学.对每一位教师而言，新知教学背景公平，如何将新知教学演绎到位就需要教师教学设计和教学功底了.新知教学需要讲什么？需要向学生传递什么？需要让教师注重什么？有位老师这么说：教师要把简单的数学教材教得有味道，离不开一定的后期加工.这种加工需要注意三个方面：第一，新知的引入是否合理和到位？牵强的情境会让整堂课行走在文不对题的道路上；第二，学生是否做到了思考？这种思考可以是探究，也可以是启发式下的引导，只要针对学情是合理的、恰当的，都是有意义的；最后，学习新知的收获在哪里？仅仅小结是不够的，要让学生顿悟在貌似看不到数学的地方发现了数学知识，用到了数学知识，用数学的眼光看待生活，才是最真的收获.

笔者以《三角函数诱导公式》一课进行一次新知教学设计，跟大家一起探讨这种设计是否合理、高效？从这样的设计中获得一些思考，与大家交流.

一、设计流程

1.教材分析

本节课选自普通高中数学课程标准实验教科书数学必修4第1.3节，三角函数的诱导公式作为高中课程中极为重要的一节内容承接着学生对三角函数的认识，从锐角、钝角到任意角知识面的扩展，从任意角的三角函数值又回归到锐角的三角函数值，一放一收体现了数学中的化归思想，即由已知所学去探究未知的领域，又将未知的知识转化为已学的知识.在三角函数诱导公式的学习中，化归思想贯穿始终，无论是在引入任意角的三角函数值，到将其转化为求锐角的三角函数值，在整个教学中渗透了化归的数学思想，让学生在学习中逐步形成化归的意识.

2.学情分析

本课授课对象为高一学生，他们刚刚掌握任意角、弧度制、任意角的三角函数定义以及三角函数线相关知识，能解决一部分相关问题，具备了继续探索任意角三角函数值的基本功.通过合理的设计，引导学生将任意角三角函数的求解转化到锐角范围内求解，在教学中渗透转化与化归思想，让学生获得知识形成的过程.

3.重点难点

重点：学会如何将任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值，体会把未知问题化归为已知问题的思想方法.

难点：如何发现单位圆的对称性与任意角终边对称性的关系，并利用其关系由此得到三角函数的诱导公式.

4.教学流程

（1）课堂引入

引入1：我们初中的时候学习了锐角的三角函数，知道了一些特殊锐角的三角函数值，如那么对任意的一个锐角你有办法求出它的三角函数值吗？

师生互动：学生回答，借助电脑、计算器进行运算可以得到结论，而教师以类比对数中的常用对数表和自然对数表，在没有这些工具的情况下，也能求解其三角函数值，靠的就是《中学数学用表》，我们观察下表中的正弦和余弦部分，我们发现表中的角度是从0°到90°，即我们可以查到］内所有角的三角函数.

引入2：在之前的课中我们将角的概念推广到了任意角，那么任意角的三角函数怎么依靠这个表格来得到.（类比对数的值通过换底公式转换成常用对数和自然对数然后借助查询常用对数表和自然对数表得到数值）

师生互动：表中没有提供锐角以外的角的三角函数

值，那么怎么用这个表格查到任意角的三角函数值呢？这说明了什么呢？我们可以将任意角的三角函数转化为锐角三角函数.

设计意图：以此，正式将课程引导到三角函数的诱导公式中，探究如何将任意角的三角函数转化到锐角的三角函数.

（2）互动探究

探究1：首先，我们回顾下任意角的概念和任意角的三角函数的定义（过程略）.根据上节课所学，“终边相等的角的同一三角函数的值相等，由此即其中k∈Z，我们可以把任意角的三角函数值转化到［0，2π）内的三角函数值，我们把这组公式称为三角函数的诱导公式一.

设计意图：公式一的实质就是当角的终边转整圈时，同名三角函数值是周而复始的.

探究2：那么现在问题就转变到如何将［0，2π）内的三角函数值转化到］内的三角函数值，根据公式一的启发，我们寻找三角函数值的关系可以转化为寻找角的终边所具有的某些特殊关系.公式一的实质就是“当角的终边转整圈时，同名三角函数值是周而复始的，那么我们思考下在一些特殊条件下，是否也能得到一些有用的结论呢？

图1

问题1：若角的终边只旋转半圈，那么旋转前后的两个角的三角函数有何关系呢？

师生互动：具体地，如图1所示，设角α的终边OP按逆时针方向旋转180°到OP1这个位置，则以OP1为终边的角与角α的三角函数有何关系呢？我们利用三角函数线和三角形的全等知识可以得到，

sin（π+α）=-sinα，cos（π+α）=-cosα.

追问1：如果角α的终边OP是按顺时针方向旋转180°到OP1这个位置，那么得到的结果又是什么？

顺时针旋转180°即相当于求-π+α的三角函数值，由图像可知，-π+α与π+α角的终边是相同的，所以由公式一可知，两者的三角函数值也是相等的，这就巧妙地运用到了公式一.

追问2：那么tan（π+α）与tanα又是什么关系？我们可以利用刚才得到的两式相除得到其关系.

追问2：在公式四的推导过程中，关键因素在于哪里？

关键点在于利用了两个角的终边OP与OP1关于坐标原点对称.

总结2：由此，我们可以发现诱导公式实际上就是角的终边对称关系的另一种表现形式而已，即在形的方面表现出来的是角的终边的对称性，而在数的方面表现出来的就是三角函数的诱导关系.

问题2：那么我们刚才的一系列操作将第三象限角的三角函数值转化到了第一象限角，那么二、四象限角是否也能转换呢？根据我们刚才探究的过程，同学们自己来探究下二、四象限角的三角函数值应该如何转化？

启发：由公式四的启发，探究任意角的三角函数值得可以转化成探究角的终边的对称关系，那么当两个角的终边分别关于x轴，y轴对称时，你能总结出什么结论呢？

二、设计反思

本课的设计有几处值得借鉴之处：

第一，新知的引入朴实无华，却处处显示着三角函数诱导公式的“光辉”，因为这里最现实的问题是锐角之外的角，我们如何快速求解其三角函数值？通过前期的三角函数线给了我们指导和方向，这是为什么要将诱导公式的原因！相比有些课，这里的引入笔者以为无需情境化，让学生思考锐角之外的角如何求解才是最切入主题的引入.

第二，本课探究是承前启后的，三角函数线是解决本课的重要知识，其重要性不言而喻，让学生作图探索既回顾知识有运用知识解决新问题，可谓一举两得.

第三，陌生问题转化为熟悉问题一直是数学学习的方向，本课中我们能够将任意角的三角函数利用四个诱导公式转化成锐角的三角函数值，解决了之前无法计算的角的值的问题，在整节课的探究过程中，我们发现了任意角的三角函数转化的问题，本质上就是角的终边的对称关系，以此，在我们数学学习的过程中，应该利用化归的思想，通过数形结合，将问题形象化，简单化去解决我们遇到的数学问题.

最后，笔者想说新知教学的设计不一定需要华丽的情境、层出不穷的变式，让教学静于心、精于型，让学生想一想、静下心才是常态课教学最返璞归真之处.

1.吴成海.高中数学创新教育应着力于思维培养［J］.新课程（教育学术），2011（7）.

2.周湖平，李阳华.赏析几道以斐波那契数列为背景的高考题和竞赛题［J］.中学教研（数学），2013（1）.

3.王珂.数学设计的返璞归真［J］.数学教学研究，2014（7）.Z