被遗忘的“锐角三角函数”的定义

刘晓伟

被遗忘的“锐角三角函数”的定义

刘晓伟

锐角三角函数的定义是在直角三角形中给出的，它反映的是直角三角形相应两边的比值的特性.可能同学们会认为，只有在解直角三角形的问题时才会用到，可事实上，在求一些线段的比值或线段成比例即三角形相似中，是有更广泛应用的.我们在解题的过程中，如果能有选择的利用这一点，将会对我们的解题起到简化过程的作用.

例1（2014·上海）如图1，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH.

（1）求sinB的值；

图1　

【思路突破】由已知AH=2CH，在Rt△ACH中，可求∠2的正弦，要求∠B的正弦，只需要证∠B=∠2.再由中线CD=可求AB=由sinB可求AC的长，由勾股定理可求BC，再通过tan∠2=tanB，便可求出CE的长，也就可求BE的长了.

解：（1）∵AE⊥CD，

∴∠AHC=90°，

由AH=2CH，可设CH=a，则AH=2a，

∵CD是直角三角形ACB斜边上的中线，

∴CD=AD=BD，

∴∠B=∠1=∠2，

∴AC=2，由勾股定理得BC=4，

∴CE=1，

∴BE=3.

【解后反思】在不同的直角三角形中，找出相等的角，然后再利用三角函数的定义找出等量关系是解决此类问题的关键.

例2如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ.

（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；

图2　

（2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值.

图3　

（2）抓住∠BCP=∠QAC，利用三角函数的定义寻找等量关系.

解：（1）∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，

∴AB=10.

又由条件可知BP=5t，QC=4t，BQ=8-4t.分两种情况讨论：

（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ、CP交于点N，则有PB=5t，AB=10，AC= 6，sinB=得PM= 3t，BM=4t，MC=8-4t，

∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，

∴∠NAC=∠PCM，

∴tan∠NAC=tan∠PCM，

图4　

（作者单位：江苏省丰县黄楼初级中学）