缜密思考知识正迁移

渠敬明

缜密思考知识正迁移

渠敬明

在学习一种新知识或解决一类新问题时，往往依靠过去已学过的知识或掌握的解题经验，去解决新问题，这种方法就叫知识的正迁移.近年来在数学中考中此类问题出现的频率较高，它能较好地考查同学们自学的能力，下面举例加以说明.

例1问题背景：

若矩形的周长为1，则可求出该矩形面积的最大值.我们可以设矩形的一边长为x，面积为S，则S与x的函数关系式为：S=-x2+x（x＞0），利用函数的图像或通过配方均可求得该函数的最大值.

提出新问题：若矩形的面积为1，则该矩形的周长有无最大值或最小值？若有，最大（小）值是多少？

分析问题：若设该矩形的一边长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为：y=2（x＞0），问题就转化为研究该函数的最大（小）值了.

图1　

（2）观察猜想：观察该函数的图像，猜想当x=______时，函数y=2（x＞0）有最_______值（填“大”或“小”），是_______.

（3）推理论证：问题背景中提到，通过配方可求二次函数S=-x2+x（x＞0）的最大值，请你尝试通过配方求函数y=2（x＞ 0）的最大（小）值，以证明你的猜想.（提示：当x＞0时，x=

【思路突破】对于（1），按照画函数图像步骤：列表、描点、连线；对于（2），结合图表或函数图像，可知有最小值，其值为4；对于（3），可配成完全平方式的形式，从而求出最值.

解：（1）如图2：

图2　

（2）由函数图像可知，其顶点坐标为（1，4），故当x=1时函数有最小值，最小值为4，故答案为：1、小、4；

即当x=1时，y的最小值是4.

【解后反思】在我们学习了一次函数、反比例函数及二次函数图像的画法的基础上，利用图像解决本题便不是很难.二次函数求最值的方法之一是配方，用模仿的方式将问题式配方求最值是解题关键.本题设计新颖，不仅很好地考查了图像的作法，还考查了知识的正迁移能力.在今后的复习中，遇到没有思路的问题，可以将其转化为已学过的知识去解决.

例2如图3，在△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1、r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+ S△ACP=S△ABC.

图3　

∴r1+r2=h（定值）.

（1）理解与应用

如图4，在边长为2的正方形ABCD中，点E为对角线BD上的一点，且BE=BC，F为CE上一点，FM⊥BC于M，FN⊥BD于N，试利用上述结论求出FM+FN的长.

图4　

（2）类比与推理

如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：

已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1、r2、r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h（定值）.

图5　

（3）拓展与延伸

若正n边形A1A2…An内部任意一点P到各边的距离为r1、r2、…、rn，请问r1+r2+…+rn是否为定值，如果是，请合理猜测出这个定值.

【思路突破】仿照面积分割法，将三角形或多边形分成若干个三角形，根据这些三角形面积的和等于整个图形的面积，建立等量关系，便可求出结论.

解：（1）理解与应用

连接AC交BD于O，则CO⊥BD，由上述结论得：

（2）类比与推理

如图6，连接AP，BP，CP.

图6　

∵S△ABP+S△PBC+S△ACP=S△ABC，

∵AB=BC=AC，

∴r1+r2+r3=h.

图7　

（3）拓展与延伸

连接PA1、PA2、…、PAn，

S△A1A2P+S△PA2A3+…+S△A1AnP=S正n边形A1A2…An，

设正n边形的边长为a，边心距为r，

∴r1+r2+…+rn=nr，为定值.

【解后反思】

本题主要利用面积分割法求线段之间的关系，充分体现了面积法解题的作用.解决多边形距离问题时，常考虑面积法，即将多边形分成若干三角形来处理.

（作者单位：江苏省丰县初级中学）