整体思维捷足先登

陈玲　王锋

整体思维捷足先登

陈玲王锋

所谓整体思维，就是把所要研究的对象，看成一个完整的整体，把注意力和着眼点放在问题的整体结构或形式结构的变形上，从整体上把握条件与结论之间的内在关系与本质内涵，选准解题的方向与策略，便可以避繁就简、捷足先登.

1.分式的求值

例1已知x2-x-2=0，求分式的值.

【思路突破】观察条件及给出的分式结构特点，我们可以发现均有相同的多项式x2-x，因此我们可以把x2-x看作一个整体代入求值式，便可获得问题的答案.

解：由已知条件x2-x-2=0得x2-x=2，代

【点评】对于给出已知条件的求值问题，我们一定要仔细观察条件与求值式的结构特征，找到它们之间的连接点，学会用整体思维的策略，适当变化条件与求值式结构，然后整体代入即可化繁为简.

2.方程（组）的求解

【思路突破】观察方程组①与方程组②中未知数的系数及方程右边的常数项，它们是完全相同的，因此我们如果把方程组②中x+2，y-1分别视为一个整体看作“元”，这就表明两个方程组是完全相同的方程组，从而发现他们的解是完全相同的.

解：令x+2=m，y-1=n，则方程组②可变

【点评】此类问题应关注方程组中未知数的系数，与用什么字母表示“元”无关.

例3（2015·珠海）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：

解：将方程②变形：4x+10y+y=5，即2（2x+ 5y）+y=5，③

把方程①代入③得：2×3+y=5，∴y=-1，

把y=-1代入①得x=4，

请你解决以下问题：

（1）模仿小军的“整体代换”法解方程

（2）已知x，y满足方程组

求x2+4y2的值.

【思路突破】（1）关键是将方程组中⑤式恒等变形成3（3x-2y）+2y=19，然后整体代入消元可得解.

解：（1）把3x-2y看成一个整体，将方程⑤恒等变形成含有3x-2y的等式，即方程⑤变形为：3（3x-2y）+2y=19⑥，这样就可以把④整体代入⑥得：15+2y=19，即y=2，把y=2代入④得：x=3，则方程组的解为

（2）原方程可化为

⑧×2+⑦得：7（x2+4y2）=119，所以x2+4y2= 17.

【点评】本题首先提供一个利用“整体代入”解方程组的案例，让读者阅读理解掌握解题方法后，模仿其方法去处理新的问题.从解题过程可以看出利用“整体代入”思想，不但可以快速求出方程组的解，而且还可以起到“降次”作用，达到快速消元求值的效果.

3.确定字母的取值范围

【思路突破】常规的思路是先解方程组，用k表示x、y，然后再代入不等式求解.这样做你会发现非常麻烦，但如果我们着眼于“x-y”这个整体，只要将方程组中两个方程“整体相减”便可用k表示出x-y，进而达到目的.

解：将方程组中②-①，得x-y=1-2k，又-1

【点评】解此类问题首先要具备敏锐的观察能力，即善于发现方程组与关于未知数的不等式之间内在的数量关系，以便确定两个方程组是相减还是相加，或者是将方程适当变形后再加减.

（作者单位：江苏省丰县单楼初级中学）