整合信息提高实效——中考数学中关于图表信息问题的探讨

李焕

整合信息提高实效——中考数学中关于图表信息问题的探讨

李焕

随着时代的发展进步，我们的生活越来越趋向信息化、数据化，与之相关的信息题也在中考数学中备受欢迎.中考专家也为此加强了对图表信息问题的关注，即通过对从实际生活中获取的图表信息进行观察、整理、加工、处理，考查同学们分析问题，处理问题的能力.解决此类问题的关键是要找准题眼，获取信息，从而解决问题.

例1某地区为了进一步缓解交通拥堵问题，决定修建一条长为6千米的公路.平均每天的修建费y（万元）与修建天数x（天）在30≤x≤120之间时具有一次函数的关系.如下表所示：

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）后来在修建的过程中计划发生改变，政府决定多修2千米，因此在没有增减建设力量的情况下，修完这条路比计划晚了15天，求原计划每天的修建费.

【思路突破】本题考查的是一次函数的应用.

（1）通过仔细读题、观察表格可以设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，运用待定系数法就可以求出y与x之间的函数关系式；

（2）设原计划要m天完成，因为计划发生改变后，修完这条路比计划晚了15天，则增加2km后用了（m+15）天，根据每天修建的工作量不变建立方程求出其解，就可以得出计划的时间，然后代入（1）的解析式即可求出答案.

解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，将（50，40），（60，38）代入解析式得：

（2）设原计划要m天完成，则增加2km后用了（m+15）天，由题意，得

解得：m=45，经检验m=45是原方程的根.

【解后反思】本题考查了待定系数法求函数解析式的运用，也可以从图像中读取信息用方程解决.在列分式方程解实际问题时，可以设间接未知数来解答应用题，解答时建立分式方程求出计划修建的时间是关键.

例2在一条直线上依次有A，B，C三个港口，甲、乙两船同时分别从A、B港口出发，沿直线匀速驶向C港，最终到达C港.设甲、乙两船行驶x（h）后，与B港的距离分别为y1、y2（km），y1、y2与x的函数关系如图1所示.

（1）填空：A，C两港口间的距离为______km，a=______；

（2）求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；

（3）若两船的距离不超过10km时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x的取值范围.

图1　

【思路突破】本题考查数形结合思想及一次函数的应用.根据函数的图像，我们可以把A，B，C三个港口的位置用线形示意图画出来，如图2，图像中点P表示当甲到达B港口后又经过了一段时间，甲、乙两船与B港口的距离相等（或甲船追上乙船）.所以可以有两种解法：一种是利用一次函数的解析式来求交点坐标；另一种则是利用追及问题的方法来解.若用第二种方法可设甲船追上乙船时，用了t小时，则可知甲船t小时比乙船多行了30km，由图1容易知道甲、乙两船的速度分别是于是可列方程60t=30t+30轻松求解.对于第（3）小题，应该通过分类讨论来解决问题.

图2　

解：（1）120；2.

（2）（方法一）设y2=kx，由点（3，90）代入，求得y2=30x.

当x＞0.5时，设y1=kx+b，由点（0.5，0），（2，90）代入，求得y1=60x-30.

当y1=y2时，60x-30=30x，解得x=1.

代入得y1=y2=30.所以点P的坐标为（1，30）.

所以乙船行驶的路程为30×1=30（km），

即点P的坐标为（1，30）.

P点坐标的意义为：当两船出发1h后，甲船追上乙船，此时两船离B港的距离为30km.

（3）①当x≤0.5时，设y1=kx+b，由点（0，30），（0.5，0）求得y1=-60x+30.

依题意，（-60x+30）+30x≤10，

②当0.5＜x≤1时，依题意，30x-（60x-30）≤10，

③当x＞1时，依题意，（60x-30）-30x≤10，

④当2≤x≤3时，甲船已经到了，乙船还在行驶，

【解后反思】本题考查了数形结合、分类讨论的数学思想.解题的关键是认真读题、看懂图，利用线形示意图确定三个港口的位置.难点在于第（3）问要分类讨论.

（作者单位：江苏省丰县初级中学）