双边道德风险下基于CVaR的回购合同协调模型

范　波,孟卫东,代建生

(1.重庆大学经济与工商管理学院,重庆400030; 2.昆明理工大学管理与经济学院,云南昆明650093)

双边道德风险下基于CVaR的回购合同协调模型

范波1,孟卫东1,代建生2

(1.重庆大学经济与工商管理学院,重庆400030; 2.昆明理工大学管理与经济学院,云南昆明650093)

运用CVaR方法考察了风险中性的供应商和风险规避的销售商联合促销下回购合同的协调问题.构造一个两阶段博弈模型:第一阶段,供应商设定回购合同;第二阶段,供应商实施促销决策,而销售商实施订购和促销决策.运用逆向归纳法对此博弈进行求解.研究表明:第二阶段博弈存在一个纳什均衡.当且仅当销售商的风险规避程度低于某一临界值,且渠道双方第一单位促销努力的边际收益小于其边际成本时,回购合同能够协调具有双边道德风险的供应链.最后用数值算例对文中结论进行了验证.

供应链管理;回购合同;双边道德风险;联合促销

1　引　言

供应链合同,作为一种协调机制,能使渠道成员的决策彼此协调,使渠道效率得到改善.当产品的销售期比较短暂且市场需求不确定时,常使用回购合同来协调供应链,比如音碟租赁、品牌服装专卖、图书销售和化妆品专营等易逝品的销售渠道.通过回购合同,需求不确定性风险由渠道成员共同承担,销售商将加大订购量,并最终达到改进渠道效率的目的.

在商品分销中,渠道成员联合采取促销行动能有效地改善市场需求,其中促销形式包括商业广告、公共关系、人员推销及营业推广等.从促销成本信息的可得性来看,商业广告的成本信息一般是可得的且易被第三方所证实,人员推销的成本难以被准确观察,即使被观察到也很难被第三方所证实,而公共关系和营业推广介于两者之间,比如在营业推广中,优惠券及赠品等促销手段的成本信息是容易获得的,而商品陈列和示范表演等促销手段的成本信息不易准确评价.已有研究指出,当渠道成员的促销努力可观察时,引入成本分担机制的合同安排能协调供应链[1,2].当渠道成员的促销努力不能被第三方所证实时,供应链将面临双边道德风险问题,即使在这种情形下,Cobett等[3]的研究表明仍存在能协调供应链的线性分成合同.

但上述研究假定渠道成员是风险中性的,这与现实情况并不完全吻合,实际上,决策者的行为往往表现出某种风险规避的特性[4].在渠道成员风险规避且存在双边道德风险时,是否还存在能协调供应链的合同呢?特别地,回购合同能协调那样的供应链吗?这就是本文要探讨的问题.

直接相关的文献包括两类:一是有关回购合同协调性的研究;二是存在道德风险下的渠道激励和协调研究.关于第一类问题,已有研究表明回购合同能完美协调供应链[5-8].尽管如此,供应商使用回购合同来协调供应链时,将导致对零售商的过度激励[9,10].Krishnan等[1],Taylor[11]和徐最等[12]研究了促销努力影响需求下的回购合同协调问题,并提出了能协调供应链的经过改进的回购合同.上述文献是在风险中性假设下进行的研究,还有一些文献探讨了渠道成员风险规避对回购合同协调性的影响,得到回购合同并不能协调所有风险规避供应链的结论[13-16].这些文献都不涉及道德风险问题.

关于第二类问题,理论界也进行了大量研究.Chen[17],Lee和Whang[18]分别考察了如何设计激励合同和信息分享机制来协调分散决策的供应链,但他们的研究只考虑了单边道德风险,没有考虑双边道德风险.在单边道德风险下,通过合同设计,能够实现系统最优,这与双边道德风险情形是不同的.在双边道德风险下,Baiman等[19]探讨了如何通过合同设计实现次优的结果,他们的研究隐含渠道完美协调不能实现的结论.事实上,大量的研究表明在双边道德风险下线性合同不能完美协调供应链[20-22].与文献[19-22]有所不同,Cobett等[3]研究指出,即使在双边道德风险下,渠道完美协调仍有可能实现.上述文献关注于如何设计一个分成合同来完成渠道收益的最优或次优的结果,但没有考察渠道成员风险偏好对决策的影响.本文将讨论销售商风险规避下回购合同的协调问题,这有别于上述研究.

本文采用Cobett等[3]对成本函数的处理方法,考察双边道德风险下供应链的协调问题,但存在以下不同.第一、Cobett等[3]假定渠道成员都是风险中性的,本文假定供应商风险中性而销售商风险规避.第二、本文是在报童框架下进行的讨论;而Cobett等[3]是在非报童框架下进行的研究.

2　问题描述及分析技术

2.1渠道联合促销模型

考虑由风险中性的供应商和风险规避的销售商构成的二级供应链的协调问题.供应商生产某种短生命周期产品,通过销售商进行销售,商品的边际生产成本为c,市场价格为p.用X来表示商品市场的随机需求,其分布函数和密度函数分别记为F(x)和f(x).供应商居于主导地位,采用回购合同来协调供应链,约定的批发价格为w,回购价格为b.

供应商和销售商实施联合促销行动以改善市场需求,供应商和销售商的促销努力分别用eS和eR来表示,这些促销努力能额外增加商品市场需求D(eS,eR),且有.促销成本分别为CS(eS)和CR(eR),成本函数关于促销努力凸增且二次可微分.

博弈包括两个阶段.博弈的第一阶段,供应商设定回购合同(w,b);博弈的第二阶段,销售商确定订购量q,同时供应商和销售商选择各自的促销努力水平予以实施.

在既定回购合同(w,b)和需求随机实现x下,当供应商采取策略eS且销售商采取策略组合(q,eR)时,供应商和销售商的利润函数分别为

其中(y)+=max{y,0}.

2.2风险规避分析技术

假定供应链由一个风险中性的供应商和一个风险规避的销售商组成.风险中性供应商的目标函数易于描述,但对风险规避销售商目标函数的描述有多种方法,除了传统的期望效用理论,还有两种近年来比较流行的分析技术:一是均方分析技术,二是下侧风险测度(包括VaR和CVaR).在这些方法中,期望效用方法最为精确,能全面地刻画决策者的风险特性,但也存在一些不足,主要是理论分析难以获得解析解,而且理论分析结果与实际观察差异较大[14].均方分析是一种发展迅速的风险处理技术,它有效克服了期望效用理论在技术上难于处理的弊端,提供了可实施的、适用的、似视的解[23],但此方法对偏离均值的上下偏差同等对待,这与现实观察不符.

下侧风险测度,尤其是CVaR技术,具有上述几种方法所不具有的优势,主要反映在:CVaR与二阶以及高阶随机占优保持一致性[24].相对于期望效用函数,CVaR只需用一个变量(置信水平)进行刻画,在技术处理上更容易,易得到解析解;相对于均方分析,CVaR方法区分了偏离均值的上下偏差对决策者的不同影响,与现实观察更为相符;相对于VaR,CVaR具有良好的结构和计算特性,并且是一致的风险测度,满足次可加性、传递不变性、正齐次性和单调性[25],但VaR不是一致的风险测度.基于此,本文将采用CVaR方法.

CVaR度量了随机利润小于给定置信水平η分位数以下部分的平均值,而忽略超出此分位数以上的部分.给定销售商的利润函数πR(q,eS,eR),销售商的条件风险价值可表示为[24,26]

其中E表示期望值,η∈(0,1]是销售商的风险规避系数,η越小,销售商越厌恶风险.

3　供应链联合促销的博弈决策

3.1供应商的最优策略

供应商面临的问题是实施最优促销努力来最大化其期望利润(EP),即

引理1E[πS(q,eS,eR)]关于eS是凹的,且当D(eS,eR)关于eS严格凹或者CS(eS)严格凸时,E[πS(q,eS, eR)]关于eS是严格凹的.

证明 只需表明供应商的期望收益函数关于促销努力的二阶偏导数小于零

当D(eS,eR)关于eS和eR严格凹,或CS(eS)和CR(eR)严格凸时,上述不等式是严格的.证毕.

利用引理1,直接求E[πS(q,eS,eR)]关于eS的一阶偏导数,可得以下结论.

命题1对销售商的任意策略(y,eR),e*S是供应商最优策略的充要条件是

式(4)左侧表示供应商最后一单位促销努力的边际收益,而右侧是促销努力的边际成本.当第一单位促销努力的边际成本大于边际收益时,供应商的最优策略是不对促销进行任何投入.

3.2销售商的最优策略

销售商从其策略可行集中,选择最优策略,以解决如下极大化问题,即

可将geS(v,q,eR)改写为

引理2.存在唯一的v*(q,eR)=(p-w)q-CR(eR),使geS(v,q,eR)取得极大值.

令geS(q,eR)=geS(v*(q,eR),q,eR),利用引理2的结果,有

引理3P2.的解存在,且当D(eS,eR)关于eR严格凹或者CR(eR)严格凸时,P2有唯一解.

证明 由式(7),geS(q,eR)关于(q,eR)的Hesse阵为

H阵负定,故P2的解存在.

下证唯一性,注意到b＜ w＜ p以及f(x)＞0,H阵的一阶主子式小于零;D(eS,eR)严格凹或者CR(eR)严格凸又确保了|H|＞0,这表明H阵是严格负定的,故存在唯一的(q,eR)可极大化geS(q,eR).引理2又指出存在唯一的v*(q,eR)使geS(v,q,eR)取最大值,因而P2的解存在且唯一.证毕.

引理3表明存在唯一的(q*,e*R),使geS(q,eR)取最大值,而且最优的一阶必要条件也是其取得最优的充分条件.由式(7),geS(q,eR)关于q和eR的一阶最优条件分别为

命题2给定供应商的策略eS,(q*,e*R)是销售商的最优订购量和最优促销努力的充要条件是

3.3联合促销的均衡策略

定理 1.由P1和P2构成的联合促销博弈存在一个纳什均衡,并且如果D(eS,eR)关于eS和eR严格凹或者CS(eS)和CR(eR)严格凸,那么均衡唯一.

证明见附录.

定理1指出供应商和销售商的联合促销存在一个纳什均衡,而且这个均衡由式(6)、(8)和(9)构成的方程组联合确定.运用简单的等量代换,重写上述方程组如下

式(10)～式(12)联合刻画了回购合同(w,b)下,供应商和销售商在第二阶段博弈的均衡策略.

4　双边道德风险下回购合同的协调

当渠道成员的促销努力可观察时,通过引入成本分担机制,收益共享合同能够协调渠道联合促销的供应链[2].由于收益共享合同和回购合同的等价性[15,27],回购合同也能协调此类供应链.下面讨论促销努力不可观察的情形,即双边道德风险下回购合同的协调问题.风险规避下的渠道协调有多个标准,本文采用供应链期望利润极大化标准[28].为了讨论的方便,首先给出与渠道利润极大化相对应的渠道成员的最优决策,然后检验前面提到的回购合同能否诱导渠道成员做出这些最优决策,从而判定其能否完成渠道协调.在一体化供应链下,给定供应商的策略eS和销售商的策略(q,eR),由式(1)和式(2),整个渠道可实现的总利润

证明见附录.

从定理2的证明可知,当存在回购合同能完成渠道协调时,要求,即渠道双方的最优策略都是不实施任何促销努力(这也排除了渠道成员的道德风险问题对渠道协调的影响),这种情况只有在渠道双方的第一单位促销努力的边际成本大于边际收益时才可能发生.特别地,如果或者,上述情形就不可能发生.

前文都是基于合同(w,b)进行讨论的.在合同(w,b,t)下,其中t表示单边固定转移支付,定理2的结论将稍有变化.由于固定转移支付没有激励效应,并不影响最优订购和促销决策,但当存在固定转移支付时,批发价格w的取值范围由(c,p)扩大为[c,p],在这种情况下,还存在能实现渠道协调的两个特例.一是当且η=1时,合同(w,b,t)=(c,0,t)可完成渠道协调,其中t的数值由供应商与销售商通过谈判确定.二是当时,合同(w,b,t)=(p,p,t)可完成渠道协调.前者相当于销售商存在道德风险,后者相当于供应商存在道德风险,两者都类似于单边道德风险情形.对这类问题,信息经济学的一个基本解决方案是让具有道德风险的经济体承担所有风险,从而实现帕累托意义上的最优,前提是独自承担风险者必须是风险中性的[29].合同(c,0,t)和(p,p,t)在本质上是一个两部线性合同,这两个特例正是Cobett等[3]在风险中性假设下所提到的“存在双边道德风险时,线性分成合同能完成渠道协调”的仅有的两个例外情形.特别地,即使供应商的最优决策e*S=eI*S=0,但如果销售商存在道德风险且严格风险规避,即η＜1,那么回购合同(c,0,t)也不能协调供应链.即使在单边道德风险下,让风险规避者独自承担所有风险也不能实现最优的结果.

5　数值分析

设D(eS,eR)=eS+eR,CS(eS)=kSeS+0.5hSe2S,CR(eR)=kReR+0.5hRe2R,外生变量p=10,c=4 且η=0.9,需求分布服从均匀分布U(0,1 000).

当kS≥6且kR≥6时,由式(14)到式(16),有,qI*=600.考虑回购合同(w,b)=(5,2.5),利用公式(10)到式(12),有e*S=e*R=0,q*=600,这表明该回购合同能完成渠道协调.可以表明,除了合同(5,2.5)之外,还存在多个回购合同能协调供应链.

图1绘制了能完美协调供应链的合同可行域,只有当0.6＜η≤1且4＜w＜10时,才存在某个回购价格,使得相应的回购合同能够协调供应链,除此之外的其它回购合同不能协调供应链.图1中A点表示批发价格为6而回购价格为4的合同,它能协调η=0.9的供应链.特别地,当η≤0.6时,能协调供应链的回购合同的解域是空集,其经济学意义是如果销售商非常规避风险,即使不存在双边道德风险,回购合同也不能协调供应链.

当kS≥6且kR≥6时,存在某个回购合同能协调供应链,渠道完美协调下成员的促销努力等于零,在本质上相当于不存在道德风险的情形,虽然渠道成员的促销努力是不可观察的,但促销成本是如此之大,以至于渠道成员采取任何促销努力都是非理性的,因而促销努力是否可观察并不重要.

当kS＜6或kR＜6时,情况有很大的不同.具体地,设.由式(10)到式(12),可以表明:不存在回购合同,使得上面三个等式同时成立.比如,在回购合同(w,b)=(7,5)下,渠道成员的最优策略分别为e*S=35,e*R=60,q*=635,无论是供应商的促销努力,还是销售商的促销努力及其订购量,均小于完成渠道协调要求的最优数量.隐藏在背后的经济意义如下:由于促销努力的不可观察带来的效率损失,回购合同不能协调存在双边道德风险的供应链.

图1　回购合同的可行域Fig.1 The feasible domain of buy-back contracts

下面进一步验证渠道成员的最优策略构成一个纳什均衡.给定销售商的策略组合(eR,q)=(60,635),供应商采取不同促销策略的期望利润如图2所示,其中期望利润的极大值在B点取得,与之对应的供应商的促销策略为e*S=35.反过来,给定供应商的促销决策为eS=35,销售商在不同策略选择下的条件风险价值如图3所示:

图2　供应商促销策略对期望利润的影响Fig.2 The impact of the supplier marketing on its EP

图3　销售商促销和订购策略对其条件风险价值的影响Fig.3 The impact of the retailer promoting and ordering on its CVaR

销售商的条件风险价值在C点处取得最大值,与此对应的策略为(e*R,q*)=(60,635).因此,在回购合同(w,b)=(7,5)下,供应商的促销策略eS=35和销售商的促销与订购策略(eR,q)=(60,635)构成一个纳什均衡.根据定理1,在回购合同(w,b)=(7,5)下,这一均衡策略是唯一的.由于渠道成员的均衡策略偏离了系统最优,表明此回购合同不能协调供应链.

6　结束语

通过构造一个两阶段博弈模型,考察了销售商风险规避下渠道成员联合促销报童类商品的订购和促销决策问题,以及回购合同的协调问题,得到以下研究结论:在一般情形下,不仅线性分成合同不能协调具有双边道德风险的供应链,即使回购合同也不能协调此类供应链.在特定的情形下,回购合同(包括线性分成合同作为其特例)能协调销售商不过于规避风险且具有双边道德风险的供应链,但当销售商非常规避风险时,无论是否存在道德风险,回购合同都不能完美协调供应链.

从两个方面推广了Cobett等[3]的研究:一是从非报童模型拓展到报童模型,在报童框架下,Cobett等[3]有关具有双边道德风险的供应链能被完美协调的结论仍然是成立的;二是将渠道成员风险中性的情形推广到供应商风险中性而销售商风险规避的情形,在销售商风险规避下,Cobett等[3]的结论有限地成立,即只有当销售商不过于规避风险时,具有双边道德风险的供应链能被完美协调的结论才是成立的.

有两个方向值得进一步研究,一是考虑渠道成员均风险规避下回购合同的协调问题.二是探讨是否存在其它合同能够协调具有双边道德风险的供应链,比如,数量折扣合同、数量柔性合同、利润共享合同和价格补贴合同,等等.

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附录

引理2的证明由式(6),分段求geS关于v的一阶偏导数,有

由式(A1),对一切v＞(p-w)q-CR(eR),有,如能证明:对一切,则可完成证明.由于F(x)关于x是严格增的,因而只需表明

解得v*(q,eR)=(p-b)[F-1(η)+D(eS,eR)]-(w-b)q-CR(eR).注意到在这个区间要求v*(q,eR)＜(p-w)q-CR(eR),即q＞eRF-1(η).将v*(q,eR)代入式(6),有

定理1的证明

唯一性.由命题1和命题2,给定销售商的策略,方程(4)是供应商采取最优策略的充要条件,而给定供应商的策略,方程(8)和(9)是销售商采取最优策略的充要条件.因此,要证明均衡的唯一性,只需证明式(4)、式(8)和式(9)构成的方程组的解是唯一的.e*R的唯一性是显然的,这直接由式(9)给出.将式(8)代入式(4),可以表明的唯一性.既然是唯一确定的,由式(8),也可表明q*是唯一确定的.证毕.

定理2的证明

Buy-back contracts coordination in supply chains with bilateral moral hazard based on CVaR

Fan Bo1,Meng Weidong1,Dai Jiansheng2
(1.School of Economics and Business Administration,Chongqing University,Chongqing 400030,China; 2.Faculty of Management and Economics,Kunming University of Science and Technology,Kunming 650093,China)

This paper examines buy-back contracts for supply chains with a risk-neutral supplier and a riskaverse retailer who take joint promotions based on the CVaR method.A two-stage game model is constructed, where at the first stage,the supplier sets buy-back contracts,and at the second stage,the supplier implements marketing decisions while the retailer implements joint decisions on ordering and promoting.The game is solved by backward induction.It shows that there exists a Nash equilibrium at the second stage of the game.A buy-back contract can coordinate the supply chains with bilateral moral hazard,if and only if the marginal revenue of the first unit promotion effort of every member firm is less than the marginal cost,and the retailer’s risk aversion degree is below the critical value.Finally,numerical examples are presented to verify the conclusions.

supply chain management;buy back contract;bilateral moral hazard;joint promotion

C94;F274

A

1000-5781(2016)01-0078-10

10.13383/j.cnki.jse.2016.01.008

2013-06-07;

2014-07-07.

国家自然科学基金资助项目(71462023;71461014;71362025);中国博士后科学基金资助项目(2012M511909);昆明理工大学管理与经济学院热点(前沿)领域科研支持计划资助项目(QY2015046).

范波(1973—),女,云南昭通人,博士后,副教授,研究方向:供应链管理,机制设计,Email:david398121@163.com;

孟卫东(1964—),男,重庆人,博士,教授,博士生导师,研究方向:战略管理,机制设计,Email:mengweidong@cqu.edu.cn;

代建生(1978—),男,四川华蓥人,博士,研究方向:供应链管理,机制设计,Email:jiansheng.dai@163.com.