利用直角坐标系分析一道力学竞赛题

马婧艺

(江苏省海门中学　江苏 南通　226100)



利用直角坐标系分析一道力学竞赛题

马婧艺

(江苏省海门中学江苏 南通226100)

文献[1]中有一道考查建模能力的动量和能量的竞赛题，试题及解析如下.

【题目】一静止的物块爆炸成质量相等的3个碎片1，2，3，设爆炸中释放的总动能为一定值E0，但每一个碎片具有的动能有多种可能值，设他们分别为Ek1，Ek2，Ek3，现可以用高为E0的正三角形中的一个点P对三条边所引的垂延的长度来表示Ek1，Ek2，Ek3，但并不是三角形中的每一点所对应的3个动能都是物理上所允许的，物理上允许的P点可能存在的区域称为运动学允许区，试求此允许区的范围．

解析：如图1所示，以正三角形△ABC的中心O点为极点，建立极坐标系.

图1

(1)

(2)

由cos2θ≤1可得

(E1+E2-E3)2≤4E1E2

(3)

现在用极坐标来表示3个能量

(4)

(5)

(6)

将式(4)、(5)、(6)代入式(3)

化简可得

评析：从试题内容可以看出这是一道能够有效考查学生提取有效信息、运用物理原理分析问题、建立数学模型等综合能力的试题，难度很大；试题解析运用极坐标系、三角函数、不等式等知识对问题进行了巧妙的分析，但是，若考虑到高中生的运用数学知识处理物理问题的实际能力，用极坐标系分析本题不易让学生理解和掌握，为了更好地符合高中生的认知能力，下面在直角坐标系中对本题进行分析求解．

直角坐标系中的解析：如图2所示，以正三角形△ABC的B点为坐标原点，BC边为x轴，垂直BC边向上为y轴，建立直角坐标系xBy，设P点的坐标为P(xP,yP)，只需要找到xP与yP间满足的数学关系式，就可以确定P点对应的区域．

图2

由题意知正△ABC的高为E0，设正△ABC的边长为a，则有

过P点到正△ABC三边的垂线段长度分别为Ek1，Ek2，Ek3，利用正三角形的面积

S△ABC=S△APC+S△APB+S△BPC

即

可以证明

Ek1+Ek2+Ek3=E0

(7)

在图2中，有如下几何关系成立

Ek3=yP

β=60°-α

得出

再结合式(7)得出

分析出Ek1，Ek2，Ek3与P点坐标关系为

Ek3=yP

(8)

(9)

将式(8)代入式(9)得

化简整理得

小结：通过对比以上两种坐标系中试题解析可以看出，直角坐标系中的解析较为通俗易懂，更加符合高中生的认知能力，便于学生理解和掌握，应该作为本试题的基础解法，极坐标系中的解析适合作为补充解法，两种研究思路相结合可以起到提升思维能力、拓宽研究视野的效果．

1张大同.通向金牌之路——高中物理竞赛辅导讲义.杭州：浙江大学出版社，130～131

2016-05-03)