电容器与电源连接电路中的能量转化关系

郑 金

(凌源市职教中心　辽宁 朝阳　122500)



电容器与电源连接电路中的能量转化关系

郑 金

(凌源市职教中心辽宁 朝阳122500)

推导了电容器储存的电场能的公式以及电能密度公式，探究了电容器与电源连接电路中的电场能在外力做功的过程中的转化规律，利用电容器的静电能公式和虚功法解答有关电容器极板间距大小或电介质多少发生变化的竞赛题.

电容器电场能能量密度

真空平行板电容器储存的静电能为

其中V=Sd为平行板电容器两极板间的体积.由此可知真空中电场的能量密度为

这表明空间电场具有能量，电能密度正比于场强的平方.

所以空间匀强电场的静电能等于能量密度与所占体积的乘积，即We=wV.

【例1】平行板电容器的正对面积为S，初始时两板间距为d，两板与电压U相连接.如果要把电容器的两个极板拉开，间距变为2d，那么需要做多少功？在这个过程中，电容器的能量变化了多少？

解析:平行板电容器的电容为

开始时储存的电场能为

后来储存的电场能为

可知电场能的变化量为

若极板间距为x，则一个极板受到另一个极板的静电引力为

克服电场力做的功为

由此可见，拉开极板做功的过程使电容器的能量减小为原来的一半.而且做多少功，电容器储存的电场能就减少多少.电荷离开两极板时，给电池充电，使电池的能量增加了，同时在电路中产生了焦耳热.

对于一个与电源连接的电容器，当外力使极板间距增大时，电场能的变化等于外力做的功，好像满足功能关系，与电路中的电源无关，其实不然.因为在外力做功的过程中，电容器通过电源把能量释放出去，电场能转化为电源的能量或消耗在电源的内阻上，电源参与了能量转化，因此外力做功或者电场力做功与电容器电场能的变化在因果上不满足功能关系，只是在数量上相等而已.但对于整个系统中的能量变化满足能量守恒定律.

【例2】平行板电容器两极板A与B的间距为d，竖直地插在密度为ρ，相对介电常数为εr的液态电介质中，当两极板连接一定的电压U时，求电容器两极板间液面上升的高度h(不计液体表面张力).

解析:虚设电介质迁移，电源能量转化为重力势能和电场能.

设电容器极板的水平方向宽度为a，平衡时两极板间液面上升的高度为h，则超出液面部分的液体介质受到竖直向上作用力的大小为

F=mg=ρadhg

假设液体在力F作用下又向上发生一小段位移Δh，则力F做的功等于重力势能的增加量，即

ΔW1=FΔh=ρadhgΔh

电容的增量为

由电容的定义式可得电容器增加的电荷量为

因此增加的电场能为

电源做的功为

由能量守恒定律得

ΔW2=ΔE+ΔW1

解得

【例3】电容式电压计是由空气平行板电容器与弹簧构成.其中一个极板固定不动，另一个极板可沿垂直于板面方向平动，劲度系数为κ′的弹簧固定在可动极板上.如图1所示.极板的正对面积为S，当电压为零时两极板间距为d.此仪器能够测量的最大电压是多少？

图1

解法1:设电压为零时，弹簧形变量为零，当加上电压U时，引力使极板间距减小，则电容增大，电荷量增大，引力增大，当最终平衡时，极板间引力为F，与弹簧的弹力大小相等，方向相反，设此时弹簧伸长量为x，极板间电压仍为U，间距为l=d-x.可用虚功法推导静电力F与极板间距l的关系.

假设在静电力作用下，极板发生微小位移Δx，则克服弹簧的弹力所做的功为

W=F·Δx

开始时电容器储存的静电能为

此时电容器增加的电场能为

ΔE1=WC2-WC1=

即

移动的电荷量为

q=ΔC·U

则电源放出的能量为

ΔE2=ΔC·U2

由能量守恒定律有

ΔE2=ΔE1+W

可得

由此得

式中l=d-x.

而此时弹簧的弹力为F′=κ′x，与极板间的静电引力平衡，即

则

实际上，总能量都是由电源提供的，其中一半能量转化为电容器的静电能，另一半能量使极板发生移动，转化为弹簧的弹性势能.

解法2:假设在静电力作用下，极板发生微小位移Δx，则克服弹簧的弹力所做的功即静电引力做的功为W=F·Δx.

二者在数量上相等，即W=ΔE，可得

在上述两种解法中，若利用电容器的静电能公式计算，则静电能增加量为

若利用能量密度公式计算，则静电能减少量为

那么二者是否发生矛盾呢？其实不然，因为前者静电能的增加量是指储存在电容器中的静电能，是电源给电容器充电的结果；而后者静电能的减少量是指电磁系统损失的静电能，不是储存在电容器中，而是从电磁系统转移到弹簧中去了，是极板间的静电引力做功的结果.静电引力做多少功，电场能就减少多少，弹簧的弹性势能就增加多少，或者说电源放出2倍的能量转化为电容器的静电能，其中一半储存在电容器中，另一半用来克服弹簧弹力做功，转化为弹性势能.

1物理学难题选登Ⅴ.物理通报，2007(11)：33

2物理学难题选登Ⅴ解答.物理通报，2007(12)：38

3杨国平.虚功原理.数理天地，2006(3)

4杨国平.物理解题中的极值方法.物理通报，2012(4):56

2016-04-07)