递推法求分形物体的转动惯量

吴喜洋　汤伶俐　李超华　宫 雪

(上海师范大学物理系　上海　200234)

方 伟

(上海师范大学物理系　上海　200234；

上海市星系和宇宙学半解析研究重点实验室　上海　200234)



递推法求分形物体的转动惯量

吴喜洋汤伶俐李超华宫 雪

(上海师范大学物理系上海200234)

方 伟

(上海师范大学物理系上海200234；

上海市星系和宇宙学半解析研究重点实验室上海200234)

应用递推法，结合量纲分析，标度变换及平行轴定理，求解了n阶康托尔集、谢尔宾斯基地毯、门格海绵、谢尔宾斯基四面体的转动惯量.

量纲分析分形转动惯量递推法

1　前言

形状规则的刚体转动惯量可由基本定义式积分求得.利用量纲分析法，对某些具有一定对称性且质量分布均匀的物体[诸如细棒、平面体(三角形、矩形、等腰梯形、正多边形、扇形、圆形、三角形等)、长方体等]的转动惯量亦可在不用积分等繁杂运算的情况下利用量纲分析法巧妙求出[1～4].文献[5]将上述方法推广至分形物体，利用分形物体的自相似特性，结合量纲分析、标度变换和平行轴定理分别求出了谢尔宾斯基三角形、门格海绵、谢尔宾斯基四面体等分形物体的转动惯量.文献[6]研究发现，该方法在求该文中的那些体积、面积或者长度趋向于零的分形物体的转动惯量时并不奏效，这是由于数学上的无穷阶分形与物理上可实现的有限阶分形物体之间存在差别导致. 文献[6]巧妙地利用了n-1阶的分形物体与n阶分形物体的一部分存在相似性的特点，同样利用标度变换和量纲分析法，给出了求n阶分形物体转动惯量的方法. 文中以简单的分形正三角形为例，显示该结果在n趋向无穷大时与文献[5]的结果是一致的.本文准备利用文献[6]中的方法来具体求解几个典型的分形物体的转动惯量，并证明当分形物体的阶数n趋向无穷大时，其结果与文献[5]的结果都是一致的，进而说明该方法的有效性.

2　递推法求分形物体转动惯量

2.1康托尔集

取一条单位长度的线段，把它3等分，截掉中间那一段，然后将剩下的两段分别3等分，再去掉中间一段，对剩下的更短的线段继续同样的操作.随着不断的分割，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，可得到一个离散的点集，称为康托尔点集，其长度为零.

图1

定义如图1(a)所示为第0阶分形图形，图1(b)为第1阶分形图形，图1(c)为第2阶分形图形，图1(d)为第3阶分形图形，以此类推直至第n阶分形图形.设图1(a)是质量为m，边长为L的直线段.根据量纲分析，它绕过质心O且垂直于该线段的转轴的转动惯量可表示为

I0=λmL2

(1)

其中λ为无量纲的比例系数，且λ仅与物体的形状有关.

(2)

(3)

(4)

(5)

为求第n阶康托尔集的转动惯量的最终表达式，先将上式改写为

(6)

(7)

当n→时，In=0，这是显而易见的，即对于数学上的康托尔集其质量为零，转动惯量也为零.

(8)

当n→时，.利用文献[5]中求转动惯量的方法计算发现所得结果一致，但实际上，由于康托尔集长度为零，质量为零，文献[5]中算出来的转动惯量并没有实际意义.

2.2谢尔宾斯基地毯(分形正方形)

谢尔宾斯基地毯是瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基在1916年提出的一种分形，其构造与谢尔宾斯基三角形相似，是将一个正方形每条边三等分，连接对边的等分点可将正方形划分为9个相等的小正方形，去掉中间的小正方形，再对剩下的小正方形重复上述操作所得的图形.

图2

根据量纲分析、标度变换和平行轴定理可得

(9)

(10)

(11)

(12)

最终由递推公式求数列通项的方法可得

(13)

当n→∞时，In=0，即对于数学上的分形正方形，其质量为零，转动惯量也为零.

根据方程(7)到方程(8)的类似处理方式，若以第n阶分形正方形的质量为m来计算，那么转动惯量最终的值应为

(14)

2.3门格海棉(分形正方体)

门格海棉，是数学家卡尔·门格于1926年提出的，是康托尔集和谢尔宾斯基地毯在三维空间的推广.把正方体每条棱3等分，连接这些等分点，将其分割为27个小正方体，挖去6个面上和中间的1个小正方体，接下来对余下20个小正方体继续同一操作，即得到分形正方体(如图3).

图3

(15)

(16)

(17)

(18)

最终由递推公式求数列通项的方法可得

(19)

当n→∞时，In=0，即对于数学分形正方体其质量为零，转动惯量也为零.

同理，根据方程(7)到方程(8)的类似处理方式，若以第n阶分形正方体的质量为m来计算，则转动惯量最终的值应为

(20)

2.4谢尔宾斯基四面体(分形四面体)

谢尔宾斯基四面体是由四面体按三角形的剖分方式得来的，具体的分型步骤是：取6条棱的中点并连线，可把四面体剖分为8个小四面体，将除4个顶点所在的小四面体外的其他4个小四面体挖空，然后对留下的小四面体重复同样的操作即可得图4所示分形四面体.

图4

(21)

(22)

同理可得第3阶分形四面体的转动惯量为

(23)

(24)

最终由递推公式求数列通项的方法可得

(25)

当n→∞时，In=0，即数学上分形四面体的转动惯量也为零.

同理，根据方程(7)到方程(8)的类似处理方式，若第n阶分形正方形的质量为m，则最终的表达式

(26)

应用递推法，结合标度变换和量纲分析法来求解分形物体的转动惯量，巧妙地解决了单纯用量纲法求解质量为零的分形物体的转动惯量所存在的问题.

3　小结

本文中我们利用文献[6]中提出的递推法分别详细推导了质量为m的n阶康托尔集、n阶分形正方形、n阶分形立方体、n阶分形四面体的转动惯量，它们分别为

该方法求分形物体的转动惯量可以直接应用于普通物理《力学》的课堂教学中，这样可将学生从较为复杂的微积分运算中解放出来，进而注重对标度变换、量纲分析等物理方法和物理图像的培养，从而有利于增强物理系学生的物理直觉.另外，本文通过理论计算求得的4个公式还可以通过实验来直接予以验证.因此，本文内容亦可以设计成动手能力较强的拓展性物理实验.

最后需要指出的是，由于分形物体具有不同于一般物体的分数维度，上述得到的结果里面是否含有与该物体的分数维度有关的信息，值得我们进一步去思考.

1Robert Rabinoff.Moments of inertia by scaling arguments:how to avoid messy integrals.Am.J.Phys.,1985,53(5):501～502

2Robert Rabinoff，俞志毅. 用标度变换求转动惯量: 如何避免繁杂的积分.大学物理，1987，6 ( 7) : 31～32

3吴文旺. 用量纲分析法求解转动惯量.石家庄铁道学院学报，1993，6(3)，85～90

4杨忠. 用量纲分析法求平面物体的转动惯量.大学物理，1997，16 ( 4) : 45～46

5许佳敏，邱为钢. 分形物体转动惯量的计算.大学物理，2011，30 ( 11) : 53～55

6方伟，涂泓，冯杰.对量纲法求分形物体转动惯量的再思考.大学物理，2016(In press)

Recurrence Method to Calculate the Moment of Inertia of Fractal Body

Wu XiyangTang LingliLi ChaohuaGong Xue

(Department of Physics,Shanghai Normal University，Shanghai200234)

Fang Wei

(Department of Physics,Shanghai Normal University，Shanghai200234；Shanghai Key Lab for Astrophysics,Shanghai200234)

Using recurrence method, combined with dimensional analysis, scale transformation and parallel axis theorem, the moment of inertia of the Cantor set, Sierpinski carpet, Menger sponge and Sierpinski tetrahedron are calculated.

dimension analysis;fractal;moment of inertia;recurrence

吴喜洋(1991-)，女，在读研究生.

方伟(1981-)，男，副教授，主要从事天体物理、宇宙学及物理教学与课程论方面的研究.

2016-04-18)