春来江水绿如蓝 似曾相识燕归来*
——2016年高考江苏数学试题评析及教学启示

☉江苏省兴化中学 张乃贵

春来江水绿如蓝 似曾相识燕归来*
——2016年高考江苏数学试题评析及教学启示

☉江苏省兴化中学 张乃贵

2016年江苏高考数学试卷难度适中，贴近中学数学教学实际，既考查中学数学的基础知识和方法，又考查考生进入高等学校继续学习所必须的基本能力.试卷遵循了“多设问、缓梯度、有效增设难度”的命题思路.试题起点低、入口宽、区分度好，既给各个能力层次的学生提供充分发挥的空间，又有效区分学生的思维水平和数学素养.今年的试题和往年的试题有着许多一脉相承之处，延续了近几年江苏高考数学试卷的风格，平稳中有变化，平和有创新.

一、试卷的整体统计分析

题号 知识 思想方法 技能、能力1 交集运算 集合 运算求解2 复数的运算、实部 转化与化归 运算求解3 双曲线的方程、焦距 数形结合 运算求解4 方差的计算 统计 运算求解

13 平面向量的数量积 函数与方程、转化与化归分析和解决问题14 两角和的正弦、正切公式、基本不等式转化与化归思想、相等与不等的转化分析和解决问题15正（余）弦定理、同角三角函数关系与两角和的三角函数转化与化归、数形结合 运算求解16直线与直线、直线与平面及平面与平面的位置关系三种语言的转化空间想象和推理论证17 函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积函数与方程空间想象和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题18直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算数形结合、函数与方程、转化与化归分析问题及运算求解19指数函数、基本不等式、利用导数研究初等函数的单调性及零点问题转化与化归、分类讨论、反证法综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理5 函数的定义域、解一元二次不等式 数形结合 运算求解6流程图 列举 运算求解7 古典概型 从反面考虑问题、列举 运算求解8 等差数列 转化与化归、函数与方程 运算求解9 正弦、余弦三角函数 数形结合 作图、运算求解10 椭圆的方程、焦点、离心率的求法转化与化归、函数与方程 运算求解11 函数的周期性、分段函数、对应法则 分类讨论 运算求解12 线性规划的可行域、x2+y2的几何含义 数形结合 作图

21（C）直线和椭圆的参数方程、参数方程与普通方程的互化，以及直线与椭圆的位置关系转化与化归、数形结合 运算求解21（D）含绝对值的不等式的证明 转化与化归 推理论证22直线和抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系数形结合 运算求解能力及推理论证23 考查组合数及其性质 数形结合 运算求解能力和推理论证20 等比数列的通项公式、求和公式、极端原理 放缩转化代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题21（A） 相似三角形 数学语言的转化 推理论证21（B）逆矩阵、矩阵的乘法 变换 运算求解

从统计结果可以看出，试卷的主要特点是：（1）重视基础知识考查；（2）注重思想方法考查；（3）凸显思维能力考查；（4）平稳中有变化.下面就这四个特点加以具体评析.

二、重视基础知识考查，突出核心知识

试卷中不少试题来源于对教材中的例题、习题进行适当的改编、嫁接、重组，让人觉得似曾相识，考查基本概念、基本公式和基本运算，如填空题中第1～12题，解答题中第15与16题，附加题中第21题和第22题.填空题第1～9题，仅需简单计算即可求解，甚至不少题无需动笔，仔细观察就能得到答案，对支撑高中数学课程中的核心知识进行了重点考查，如函数、三角函数、数列、导数、平面向量、直线与圆、立体几何.8个C级知识点都进行了考查.

三、注重思想方法考查，突出通性通法

由于数学思想方法是数学的灵魂，试卷着重考查：（1）函数与方程思想，如第8、10、13、17、18题；（2）转化与化归思想，如第8、13、14、18、19题；（3）数形结合思想，如第5、9、12、18题，（4）分类讨论的思想，如第11、19、20题.

试卷突出通性通法考查，淡化特殊技巧，如第6、7题考查了列举法，第19题考查了分离变量法、换元法和反证法，第20题考查了放缩法.

四、凸显思维能力考查，突出创新意识

今年的试题，在考查基础知识和通性通法的同时，对学生的能力有较高要求，很多试题在“能力立意”方面做足了文章，着力考查学生的思维能力、数学素养、数学潜能、应用意识和创新意识.设置应用性和探究性试题，考查学生的知识迁移能力和综合运用所学知识分析问题与解决问题的能力.

如第18、19、20题各有3问，在难度的设置上，入口宽，深入难，各个小题的难度逐渐递增，第（1）、（2）问大多学生可以解决，考查基础知识、基本技能，第（3）问对学生的能力要求较高，为综合能力较强的优秀学生提供创造性解决问题的空间，考查学生创造性解决问题的能力，确保试卷的区分度，从而选拔优秀人才.

试题注重解法的多样性和不同解法效率的差异性.大多数试题入口宽、方法多，不同思维层次的学生可以选择不同的方法来解决，所花费的时间也不相同，以此来甄别他们的思维，考查思维变通性、灵活性、深刻性.

如第7题正面的情形比较多，宜从反面思考；第9题既可以画函数的图像，又可以解简单的三角方程；第10题对条件∠BFC=90°的转化，可以用勾股定理（对焦点F联想，根据对称性利用焦半径公式），也可以用斜率的乘积为-1，或者用数量积为0，还可以用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，来建立求离心率的方程；第13题可以建立直角坐标系，用坐标法来解决，也可以利用极化恒等式a·b=［（a+b）2-（a-b）2］，关键是寻找已知与所求之间的关系，设出中间变量来联系已知与未知；第14题是向量最值问题，题中涉及3个变量、两种三角函数.解决问题的基本思路是运用化归思想，设法减少变量，统一函数名称，再利用基本不等式或导数.也可以根据课本中的结论，在斜三角形中tanA+tanB+tanC= tanAtanBtanC加速解决问题.

五、平稳中有变化，平和中有创新

尽管每年高考试题呈现的形式总在变化之中，但背后的思想方法是不变的.

如第13题是平面向量的多个数量积问题，与2012年第9题、2014年第12题相似，是江苏的特色试题.

第13、14题叙述简洁，与2015年相比较难度有所下降，解答时无需巧思，只要熟练运用常规方法即可求解，运算也不十分复杂.

第18题是直线与圆的解析几何问题，没有沿袭2014、2015年继续考椭圆，试题运算量得到有效控制，留给考生较充分的思考问题时间.第（3）问设点P（x1，y1），Q（x2，y2），将向量式，转化成坐标的等式，由点P、Q都在已知的圆上，得到两个方程，统一变量，利用两个圆的位置关系来解决问题，这和2013年第17题所用的方法完全相同，考查了解析几何的精髓用坐标法解决问题，以及由数（方程）想形、见形思数的思维习惯.

第19题是指数函数为背景的函数综合题，第（1）问中的第①小问，暗示了第（2）问中的结论ab=1，用导数结合函数零点存在定理来证明，这和2013年第20题类似.

第20题是以数列为背景的新定义型问题，考查学生的阅读理解能力，题目做足了铺垫，第（2）问不但为解决第（3）问提供了结论，也暗示了解决的方法.此题和2014年第20题类似，都是新定义型数列题，都是数列的前n项和为Sn与数列的项an之间的转化.体现化繁为简，突出数学本质和数学研究的方法.现给出第（3）问不同于标准答案的另一种解法.

本研究以海南11家高星级酒店为研究对象，从酒店经营者的角度出发，探讨社交媒体营销对高星级酒店的影响。根据采访数据显示，酒店经营者普遍认为社交媒体的出现和发展是互联网经济发展的必然产物，将社交媒体纳入到酒店营销体系里能为酒店的经营带来极大的好处。大多数受访者认为社交媒体平台在酒店和消费者之间创造了一种纽带关系。而这种纽带关系又为将来的购买关系打下了坚实的基础。如果纽带关系和购买关系能够一直保持良性循环，那么酒店顾客将有可能成为“意见领袖”，自愿为酒店代言，帮助酒店销售其产品。

设A=C∩CUD，B=D∩CUC，则A∩B=⊘，SC=SA+SC∩D，SD=SB+SC∩D，SC+SC∩D-2SD=SA-2SB，所以，要证明SC+SC∩D≥2SD，即要证明SA≥2SB.

因为SC≥SD，所以SA≥SB.

①若B=⊘，则SB=0，所以SA≥2SB.

②若B≠⊘，由SA≥SB，可知A≠⊘，设A中最大元素为k，B中最大元素为l，

若l≥k+1，则由第（2）问的结论知SA＜ak+1≤al≤SB，矛盾.所以l＜k+1，即l≤k.

因为A∩B=⊘，所以k≠l，所以k≥l+1.

所以SB≤a1+a2+…+al=1+3+32+…+3l-1=≤≤，即S＞2S.AB

综上所述，SA≥2SB，因此SC+SC∩D≥2SD.

2016年江苏高考试题和2013、2014年有诸多相似之处，不考“偏、怪、繁、难”的题目.既重视基础知识的考查，又凸显数学思想、思维能力的考查；既有利于中学数学教学的改革，又有利于选拔人才，发挥了正确的导向作用.

六、教学启示

1.回归课本，夯实基础

由于不少高考试题是由课本中的题目改编而来，考查基础知识、基本技能、基本思想，因此复习中要回归课本.对基础知识的复习不是简单的记忆和机械的训练，要强调基础知识的发生和发展过程，对于基础知识不能满足于教师讲清楚，更重要的是激励学生主动参与知识的构建过程，在过程中积累基本活动经验.引导学生在掌握基础知识的同时，充分挖掘基本概念、公式、原理、定理等背后隐藏的思想方法，领悟知识之间内在的联系，洞察数学本质.努力处理好高考题与课本题、难题与容易题之间的辩证关系，采用变式教学充分揭示它们之间的内在联系，难题的讲解要帮助学生搭建好思路的框架，将难题分解成若干个容易题和课本中的知识点，让学生明白难题的解决离不开数学基础，用数学思想方法来链接难题与容易题，将容易题发展成难题.

培养学生用基本概念和基本思想方法思考问题良好的解题习惯.仔细阅读题目，根据题目中的条件展开丰富的联想，拟定解题计划，形成解决问题的策略，实现解题计划，让学生学会解题时需谋定而后动，培养解题的方向感和目标感.解题后，进行反思，对问题的本质深入探求，对不同的方法比较归纳，对问题引申拓展.

2.研读考纲，明确方向

认真研究《考试说明》和往年的高考试题.通过研究明确高考数学命题的方向，明确知识要求、能力要求.将高考中要考查的内容逐一列出，制定详细的复习计划，做到循序渐进、螺旋上升，突出重点，分散难点.

在复习时，既要做到全面复习，又要突出重点内容.如附加题的第22题常考题型是抛物线、离散型随机变量及其分布和空间向量与立体几何，这些内容都必须复习.对于重点内容分小专题逐个突破.小专题教学在数学思想方法统领下，在大的观念指引下，开展变式教学，着力帮助学生建构完整的知识网络，发展学生的变通能力，达到融会贯通.每一个小专题的教学力求解决一类重点、热点、难点问题，让学生经历一个系统的梳理过程，归纳、概括的过程，聚焦问题、解决问题的过程.通过小专题教学让学生学会透过问题表象看清问题本质，研究问题的深层结构，发现深层相似，提升分析问题与解决问题的能力，注重用普遍联系的观点来看问题，既见树木更见森林.用同一种方法解决更多的问题，实现更广泛的迁移.把抽象、概括的知识和方法运用到具体的问题情境之中，从具体的问题情境中抽象、概括出知识、方法和解决问题的策略，通过具体与抽象多次的来来往往，实现从抽象到具体，从具体到抽象，螺旋上升，形成数学活动的经验.同时重视一题多解，注意比较各种解法的优劣，弄明白哪种方法是解决这个问题的最佳方法，在比较中实现优化，发展思维的深刻性.

3.规范答题，严谨表达

表达与交流是最基本的数学素养，书面表达是把自己的思维成果写出来与他人分享与交流，这种表达要符合数学表达的规范.

（1）引入新的变量（字母）时要交待其指代.如在解答今年高考实际应用问题第17题时，设出变量（字母）要指明变量的含义，同时要写出变量的取值范围（函数的定义域），求出的值还要注明单位，最后作答.

（2）解答题的推理依据是课本中出现的基本概念、公理、原理、定义、定理，所以务必要记清这些基本知识.如在解答今年高考立体几何题（第16题）时，题目中条件“直三棱柱ABC-A1B1C1中”涉及直三棱柱的定义（侧棱与底面垂直的棱柱是直棱柱），因此，依据定义不能直接推出侧面与底面垂直或侧棱与底面三角形的边垂直.

（3）使用课本中定理要具体写出其适用的条件.如在解答今年高考立体几何题（第16题）第（1）问时，使用直线与平面平行的判定定理，要具体写出定理使用的三个条件：①证明线线平行，②写出一条线在平面外，③写出另一条线在平面内.

再如解答今年高考函数综合题（第19题）第（2）问时，使用函数零点存在定理，要具体写出定理使用的三个条件：①证明存在闭区间端点值；②证明在闭区间端点的函数值异号；③写出函数在这个闭区间上图像是连续不断的.

（4）数学的运算往往表现为数学推理，推理要有依据，要养成言必有据理性的严密的思维习惯.如解答15题时，利用同角三角函数关系涉及开平方运算，对正负要进行取舍，这就必须研究角的取值范围，角的取值范围是运算结果正负取舍的依据.

引导学生学习近几年官方公布的高考数学参考答案，领悟规范表达的要求.教师要身体力行，规范解题.多让学生板演解题过程，并按评分标准进行集体评判，有效强化学生答题的自我规范意识、自我监控意识.平时训练中要培养学生严谨的学习态度，善于关注学习细节，学会准确表述数学概念、原理，规范书写算法、数学符号、推理等.好的想法依赖规范表达，规范意识缺失直接导致失分，所以要重视培养学生解题的规范意识.

*本文系江苏省教育科学“十二五”规划重点课题“高中数学变式教学的实践研究”（B-a/2013/02/033）的研究成果之一.