略谈“十字相乘法”在中学数学解题中的运用

喻敏

（重庆市涪陵第一职业中学校）

略谈“十字相乘法”在中学数学解题中的运用

喻敏

（重庆市涪陵第一职业中学校）

在初中数学（人教版）八年级上册“整式的乘除和因式分解”一章中有一个选章内容叫“观察与猜想：x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解”，大家形象地将它称为“式子相乘法”。在教授这部分内容后，发现在解一元二次方程和解一元二次不等式中也可以用此方法。

十字相乘法；中学数学；一元二次不等式

一、“十字相乘法”在因式分解中的运用

例1.将下列各多项式分解因式

（1）x2+7x+12（2）x2-7x+10（3）x3-5x2+6x

（4）x2+x-12（5）x2-x-2

分析：（1）题的12可分解为3和4，而3加4刚好等于7，所以此题易分解。

（2）题中常数项10可分解为2×5，也可以分解为（-2）×（-5），由于一次项系数为-7，（-2）加上（-5）刚好为（-7），所以应选择把10分解为（-2）×（-5）。

（3）题中各项有公因式x，所以先提公因式x，括号里的项为x2-5x+6，常数项6为正数，可以分解为（-2）×（-3），（-2）与（-3）的和刚好为-5，于是此题就可解了。

（4）题的常数项为-12，-12为-3×4，也可分解为-4×3，结合一次项系数为1，故选前者。

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（5）题中的常数项为-2，-2=-1×2=1×（-2），由于一次项系数为-1，所以选择-2=1×（-2），此题可解。

例2.把下列各式分解因式

（1）-x2+9x+10（2）x2+18xy-63y2

（3）（x+y）2-16（x+y）-36（4）（a2-4a）2-2（a2-4a）-15

分析：（1）题二次项系数为负数，应先将负号提出来后再分解。

（2）题应把它看成关于x的二次三项式，把y看成常数。

（3）（4）题要把（x+y）、（a2-4a）看成一个整体，即（3）看成是（x+y）的二次三项式，（4）看成是（a2-4a）的二次三项式，然后再分解。

二、“十字相乘法”在解一元二次方程中的运用

例3.解下列方程

（1）x2+2x-15=0（2）（x+3）（x-1）=5

（3）2x2+3x-2=0（4）-x2+3x-2=0

分析：（1）题的二次项系数为1，将常数项-15分解为-3×5或者-5×3，结合一次项系数为2，应把常数项分解成-3×5，即（x-3）（x+5）。

（3）题的二次项系数为2，可分解成x2=2x·x，再将-2分解成2×（-1），结合一次项系数为3，此题可解。

（4）题转化为x2-3x+2=0，将2分成（-2）×（-1）即可。

三、“十字相乘法”在解一元二次不等式中的应用

众所周知，解一元二次不等式是借助对应的抛物线与x轴的交点坐标，从而确定一元二次不等式的解集，其步骤为：先化二次项系数为正数，归结为ax2+bx+c≥0（a＞0）或ax2+bx+c≤0（a＞0）的形式，再求出对应的一元二次方程的根，最后根据口诀“大于零解集在两根之外”“小于零解集在两根之间”来确定一元二次不等式的解集，那么在求一元二次方程的根时，我们也可以借助“十字相乘法”来解方程。下面举例说明：

例4.解下列不等式

（1）-x2-3x+10≥0（2）14x2-31x+15＞0

（3）3x2-5x+2<0（4）2x2+2x+7<3x2+x+1

分析：（1）先将二次项系数化为正数，再利用“十字相乘法”分解因式求出对应的一元二次方程的根，最后确定不等式的解集。

（2）此题中二次项系数不为1，但可分解为7x与2x的积，常数项可分解为-3与-5的积，再交叉相乘即可求得和为一次项。

（3）题中将3x2分解为3x与x的积，常数项2分解为-2与-1的乘积，再交叉相乘再相加即可得到一次项。

（4）将此不等式进行整理后，得x2-x-6＞0，二次项系数为1，常数项分解为-3与2的积，然后交叉相乘再相加后就得一次项。

解：（1）原不等式化为x2+3x-10≤0，左边用“十字相乘法”分解为（x+5）（x-2），解方程（x+5）（x-2）=0，∴x1=-5，x2=2

（2）解方程14x2-31x+15=0，左边用“十字相乘法”分解为（7x-5）（2x-3）

（3）解方程3x2-5x+2<0，左边用“十字相乘法”分解为（3x-2）（x-1）

（4）原不等式化为x2-x-6＞0，解方程x2-x-6=0，用“十字相乘法”将左边分解为（x+2）（x-3），即（x+2）（x-3）=0，∴x1=-2，x2=3，故原不等式的解集为。

以上是我在教学中的点滴体会，写出来与大家分享，不足之处，望同行们不吝赐教。

·编辑温雪莲