平行圆柱孔织物的分数阶热湿传递模型

叶海平， 杨李凡

(东华大学 理学院，上海 201620)



平行圆柱孔织物的分数阶热湿传递模型

叶海平， 杨李凡

(东华大学 理学院，上海 201620)

摘要：具有分数阶导数的模型在描述多孔介质的热传导和扩散等复杂现象时有明显的优势.建立了低温环境下多孔织物的分数阶热湿传递的稳态模型，并将所建模型转化为等价的积分方程. 进而，利用Banach压缩映像原理，证明了分数阶模型解的存在唯一性， 并推广了常微分方程边值问题的打靶法，获得分数阶模型相应的数值算法.

关键词：织物； 分数阶模型； 热湿传递； 存在性； 唯一性； 数值算法

涉及人体-服装-环境系统的热湿传递过程颇受关注[1]. 早在1939年，文献[2]探讨了羊毛织物的热湿耦合传递模型. 为了描述纤维中含水变化率, 文献[3]通过羊毛二级吸湿模型，导出了纤维含水量与温度的数学公式. 文献[4-7]进一步将辐射传热、对流换热和相变换热引入到模型中，探究了多孔服装材料伴有吸附和凝结的动态热湿传递模型. 近年来，徐定华教授[8]在研究纺织材料热湿传递数学模型及设计反问题方面做了大量的工作， 他认为分数阶的热湿传递模型是未来有价值的研究课题之一. 原因之一是当湿度较大时，整数阶微分方程不能很好地刻画织物的热湿传递过程. 由于织物大都为多孔介质，且具有记忆性，而含分数阶导数的模型有较强的记忆性，在描述多孔介质的热传导和扩散等复杂现象时具有明显的优势， 因此，本文首次尝试研究织物的分数阶热湿传递模型.

在整数阶单层织物稳态模型[9-10]的基础上，本文导出相应的织物分数阶热湿传递模型. 利用Banach 压缩映像定理，证明织物分数阶热湿传递模型局部解的存在唯一性，并利用分步法将解延拓，得到整体解的存在唯一性结果. 进一步，借鉴整数阶微分方程边值问题的打靶法，呈现分数阶模型的数值算法.

1模型导入

首先，作如下合理的假设[9]:

(A1) 水蒸气和空气在多孔介质织物内视为一维流体；

(A2) 水蒸气和空气在多孔介质织物内速度小，其动能和惯性的影响可不予考虑；

(A3) 湿传递过程进行缓慢，水蒸气和空气在多孔介质织物中随时处于热力学平衡；

(A4) 纺织品各向同性，且多孔介质纺织品的孔径和孔隙率不受湿传递影响；

(A5) 多孔介质纺织品内的空气可看作理想气体；

(A6) 不考虑辐射产生的能量迁移；

(A7) 人体代谢所产生的热量以水蒸气蒸发扩散.

在文献[9]中，根据假设(A7)，由热量守恒定律得到传统的热传导方程：

由于纺织品为多孔介质，传统的整数阶热传导方程不能很好地解释多孔织物的热湿传递过程，而文献[11]研究表明，分数阶反常扩散方程能有效地描述多孔介质中的热扩散现象. 这里考虑如下分数阶反常扩散方程：

κcDβT(x)+λγ(x)=0

其中：cDβT(x)为β阶Caputo分数阶导数，定义[12-14]为

(1)

基于上述讨论，在文献[9]的基础上，本文导出如下稳态的具有平行圆柱孔结构特征的织物分数阶热湿传递模型：

边界条件：

且

(10)

其中：0≤x≤L，L为织物的厚度；psat为织物“平行圆柱孔”内的饱和水蒸气压力；mv为水蒸气的质量通量(kg/(m2·s))； T为温度(K)； pv为水蒸气压力(Pa)； k1,k2为常数，与水相对分子质量和气体常数有关；ε(x)为织物表面的孔隙率(%)； r(x)为圆柱孔半径(m)； τ(x)为孔的曲折系数；γ(x)为织物表面的凝水率(kg/(m3·s))；κ为织物的导热系数(W/(m·K))；λ为水蒸气的凝结热或蒸发热(J/kg)；T0为织物内侧面的温度；TL为织物外侧面的温度；mv,0为织物内侧面的水蒸气质量通量(kg/(m2·s))；pv,0为织物内侧面的水蒸气压力(Pa).

2解的存在唯一性

为证明分数阶耦合系统(2)～(9)解的存在唯一性定理，首先将其转化为等价的积分系统

(14)

引理2.1分数阶非线性耦合系统(2)～(5) 连同其边界条件(6)～(9)等价于系统(11)～(13).

证明：利用简单的积分技巧，并考虑到边值条件，显见方程(2)和(9)等价于方程 (11), 而方程(3),(5),(8)等价于方程(12). 下证方程(4)～(5)及其边值条件(6)～(7)等价于积分方程(13), 其中系数c(p,T) 满足关系式(14).

由方程(4)～(5)得

cDβT(x)=k2k3A(x)(psat(T(x))-

(15)

由Caputo分数阶导数的性质，得分数阶微分方程(15)具有如下形式的解：

(16)

将边界条件(6)和(7)代入，有

b=T0

(17)

(18)

对式(18)进行整理，得等式(14). 证毕.

为得到模型解的存在唯一性结果，还需要如下一些基本的、合理的假设：

(H1) 存在常数Ki(i=1,2,…,6)满足

(H2) 存在常数N1，N2，N3满足

(H3) 存在常数P和M满足

首先给出低温环境下单层织物分数阶热湿传递模型局部解的存在唯一性定理. 引入如下记号：

连续函数空间C=C[0,x1]， 其中0

局部解空间X=C×C×C={(p(x),mv(x),T(x))|p(x),mv(x),T(x)∈C};

定义X空间的范数‖(p,mv,T)‖X=max{‖p‖C,‖mv‖C,‖T‖C}.

显然空间X在上述范数意义下构成完备距离空间.

证明： 定义算子B:X→X 如下：

B(p,mv,T)=

(B1(p,mv,T),B2(p,mv,T),B3(p,mv,T))=

(19)

(20)

(21)

(22)

由引理2.1,仅需证明算子B在空间X中存在唯一不动点即可.考察 B(p(1),mv,(1),T(1))-B(p(2),mv,(2),T(2))X， 注意到

‖B1(p(1),mv,(1),T(1))-B1(p(2),mv,(2),T(2))‖C=

(23)

‖B2(p(1),mv,(1),T(1))-B2(p(2),mv,(2),T(2))‖C=

(24)

以及

‖B3(p(1),mv,(1),T(1))-B3(p(2),mv,(2),T(2))‖C=

(25)

而

(26)

又

(27)

由式(23)～(27)的估计，以及X空间范数的定义，获得

‖B(p(1),mv,(1),T(1))-B(p(2),mv,(2),T(2))‖X≤d‖(p(1),mv,(1),T(1))-(p(2),mv,(2),T(2))‖X

如此得到该耦合系统的局部解的存在区间[0,x1]. 将x1作为初始时刻，重复上述求局部解的过程，可将解延拓至[x1,x2]，经过有限步，可得该系统在定义区间的整体解.

3数值算法

本节给出单层织物热湿传递的分数阶耦合系统的一种数值算法，并于其后附上由羽绒材料加工而成的织物热湿传递性试验的例子.

首先利用简单打靶法[15]确定方程(13)中c的一个近似值c=c*，具体操作如下所述.

(1) 作等距剖分. 对区间[0,L]作等距剖分，步长为h， 0=x0

(2) 离散方程. 对式(11)～(13)中的定积分运用左矩形公式，有

(28)

(29)

(30)

其中: i=1,2,…,n.

(3) 比较T(xn)与TL. 通过(2)的迭代计算，得到该系统的第一列数值解，取得近似值T1(xn)，并将之与TL进行比较. 注意到T(x)关于c单调递增，而且在低温环境中，TL

① 若T1(xn)

② 若T1(xn)>TL， 则取c2=2c1.

由c=c2经过上述迭代和计算步骤，得到该系统的第二列数值解，取得近似值T2(xn)，并将之与TL进行比较.

① 若(T1(xn)-TL)(T2(xn)-TL)<0， 则令c3=(c1+c2)/2;

② 若T1(xn)

③ 若T1(xn)>TL,T2(xn)>TL， 则令c3=2c2.

依次类推，由c=cs经过上述迭代和计算步骤，得到该系统的第s+1列数值解，取得近似值Ts+1(xn)，并将之与TL进行比较.

① 若(Ts(xn)-TL)(Ts+1(xn)-TL)<0， 则令cs+2=(cs+cs+1)/2;

② 若Ts(xn)

③ 若Ts(xn)>TL,Ts+1(xn)>TL， 则令cs+2=2cs+1.

依次进行迭代计算，若当c=ci时，由其计算得到的数值解恰使得Ti+1(xn)=TL或|Ti+1(xn)-TL|充分小，那么由c=ci得到的第i+1次数值解，就作为该系统的近似解.

取N=50,h=L/N,β=1.95. 利用基于二分法的打靶法，经过迭代计算，得出参数c*=-1 192.3，此时数值解|T(L)-TL|<3.069 0×10-4，认为该数值解就可以作为该系统的近似解. 温度随着织物厚度变化的试验数据和数值结果如图1所示.由图1可见，数值结果与试验数据吻合程度较好，说明本文的数值算法是有效的.

图1　温度与织物厚度的变化关系Fig.1　The changing relation between the temperature and the thickness of fabric

4结语

本文首次尝试建立了低温环境下具有平行圆柱孔织物的分数阶热湿传递的稳态模型，侧重于理论上分析了分数阶模型解的存在唯一性，并给出了模型的数值算法. 该数值算法可用于一般分数阶边值问题的数值求解.

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文章编号：1671-0444(2016)03-0449-06

收稿日期：2015-06-08

基金项目：中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(15D110927)；东华大学非线性科学研究所专项资金资助项目(INS 1402)

作者简介：叶海平(1964—)，女，上海人，副教授，博士，研究方向为分数阶微分方程. E-mail: hpye@dhu.edu.cn

中图分类号：O 175.14

文献标志码：A

A Fractional-Order Model of Heat and Moisture Transfer Through Parallel Pore Textiles

YEHai-ping,YANGLi-fang

(College of Science, Donghua University, Shanghai 201620, China)

Abstract:A model with fractional-order derivative has obvious advantage in describing the complicated phenomena of heat conduction and diffusion on the porous media. A fractional-order steady-state model is established, which is used to describe heat and moisture transfer through porous fibrous media under low temperature. The model considered is reduced to the equivalent integral equations. Then, the existence of a unique solution is proved by the Banach fixed point theorem. Finally, the shooting method of boundary value problems in ordinary differential equations is generalized and the numerical method is obtained for the fractional-order model.

Key words:textile; fractional-order model; heat and moisture transfer; existence; uniqueness; numerical method