测量任意形状物体的转动惯量

易景鸿

（湖南常德澧县一中1503班 湖南常德 415500）

测量任意形状物体的转动惯量

易景鸿

（湖南常德澧县一中1503班 湖南常德 415500）

物理实验中物体转动惯量的测定是一个重要的实验，一般的实验方法有：三线摆测量具有某一平面的转动惯量，复摆一般测量具有一定的对称面的物体，但是对于任意形状的物体他们就无能为力了。用旋转法既能测量规则物体的转动惯量，也能测量任意形状物体的转动惯量。本方法的利用液体粘滞系数及旋转法测量任意形状物体的转动惯量，并运用作图法消除系统误差。

旋转法测量；粘滞系数；任意形状；作图法消除误差

引言

物体转动惯量的测定是物理实验中一个重要的实验，一般的实验方法有：三线摆测量具有某一平面的转动惯量，复摆一般测量虽然具有一定的对称面的物体，但是对于任意形状的物体他们就无能为力。用旋转法既能测量规则物体的转动惯量，也能测量任意形状物体的转动惯量。以下利用液体粘滞系数及旋转法测量任意形状物体的转动惯量，并运用作图法消除系统误差。

1 实验装置

如图1所示，装置由旋转圆筒法测黏性流体的装置改造而成，主要由高为L半径分别为R1、R2的内、外圆筒，两筒间充满黏度已知的黏性液体。上方为物品托盘，用来放置待测物品，并且有一光电门，可以用来进行角速度的测量。

图1 实验装置图

基本原理如图2。

图2 基本原理图

由牛顿内摩擦定律可知：平面层流时流层间的内摩擦力F等于表面积s，粘滞系数η和速度梯度的乘积，即：

本实验中，当液体部分（1）产生稳定旋转时属于旋转层流[1]，对于如图3所示的高度为L的筒状薄层，半径为r处的表面积s=2πrL，该面所受的内摩擦力在柱坐标系中沿切线方向，其大小（在旋转层流情形）为：

同时稳态旋转时半径为r的柱面所受的力矩为常数，设其值为M1，可得：

利用边界条件ω|r=R2=ω0和ω|r=R1=0可以得出微分方程的（似）解：

而内摩擦力矩M2底部环状液体的摩擦力矩M3较小，曾有文献分析说：底部环状液体（R2＜r＜R1的部分）所产生的摩擦力矩约占总力矩M的1%，M3=0.01M，可以忽略。

测量时将被测物体按要求放在转台上，在外力距的作用下，转台做匀加速转动，计时器测量出一系列不同的角位移θ1、θ2、θ3…所用的时间分别为 T1、T2、T3…，设初始角速度为 ω。

由（4）、（5）、（6）等一系列方程可求出匀加速时的角加速度。

在实验过程中外力矩由仪器提供，使外筒保持匀转速ω0，再测得液体粘滞系数η，转筒高度L，内筒半径R1，外筒半径R2，由公式：

即可求得内筒所受力矩。但是由于内筒是转动的，公式要修改为：

其中ω1为内筒的角速度。为了消除内筒转动给力矩的影响，可以使用作图法，如图3。

图3 作图法示意图

求出不同的ω1时的M值，用一个图表表示出来，当ω1为零时的M0值即为所要求的在内筒不动时的角速度，同时，根据这个图也可求得角加速度β。

加上之前求出来的角加速度β，结合公式：M=Jgβ即可求得内筒与物体组合的转动惯量。同轴的物体之间有J=J1+J2，故物体的转动惯量为总的转动惯量减去内筒的转动惯量，而实验时采用规则形状、转动惯量已知的内筒时，实验便可轻松求出所测量物体的转动惯量。

假设已经通过以上方法求得角加速度β，内圆筒收到的力矩M0，内圆筒的转动惯量J0，则求待测物体的转动惯量J的总公式为：

2 实验误差分析

实验时物体与内筒并非真正意义上的角加速度不变的理想转动，而是近似意义上的，要求η较小。虽然用作图法一定程度上消除了该种误差，但由于实验时的仪器精度限制以及作图时的作图误差，使得本实验在理论上仍然存在一定的误差。

在上面的推导过程中涉及到的需要直接测量的物理量有：时间、角位移、半径等，半径用游标卡尺（精度0.02mm）能够比较精确的测定，对测量的影响不到千分之几；时间的测量由于采用光电门和数字毫秒计完全克服了停表计时所带来的误差，而且记录的时间可以存取，不必担心记错时间；角位移的测量，由于挡光片固定在圆盘一条直径上，挡光两次间隔恰好就是π，在仪器加工时已做得很精确。所以直接测量对测量精度影响不大。

另外实验时环境的温度波动，会影响实验液体的粘滞系数，从而影响实验结果。但在误差允许的范围内，仍可看成本实验是可行的。

3 结束语

该仪器完全解决了三线摆、复摆测量物体转动惯量的局限，由于在讨论中没有涉及物体的具体形状，所以该仪器不但能够测定质量分布均匀、形状规则物体的转动惯量，而且能够测定质量分布不均匀、形状不规则的物体的转动惯量。该仪器扩展性好，且测量稳定、重复性好，操作与维护方便，可视为实验室的理想器材。

TH823

A

1004-7344（2016）11-0027-02

2016-3-28

易景鸿（2001-），男，在校学生，高一。