长短波方程的同宿解

李龙星

（曲靖师范学院数学与统计学院　云南曲靖　655000）



长短波方程的同宿解

李龙星

（曲靖师范学院数学与统计学院云南曲靖655000）

本文通过双线性方法和拓展的同宿测试法，得到长短波方程方程的新的同宿孤立波解，同时也充分说明了1+1维长短波方程动力学行为的多样性和复杂性。

长短波方程 同宿测试 同宿解

孤立子的研究是非线性偏微分方程领域的一个重要分支，同时也是许多近现代学者研究的热门课题。近年来，非线性偏微分方程的精确解受到很多学者的关注，提出许多关于非线性偏微分方程的求解方法，如Hirota方法［1］、逆散射方法［2］、Ba&cklund和Darboux变换、扩展的F-展开法、齐次平衡法、Ja-cobi椭圆函数展开法及指数函数法等，这些方法得到了很好的应用和发展.到目前为止，关于（1+1）维的非线性系统中单变量的周期孤立波解的形式较多，而对于高维的例如（2+1）维的一些可积系统的周期孤立波解的形式相对较少.同宿测试技巧是一种可得到一些可积系统同宿解的方法，应用此方法的扩展形式可得到一些可积系统的周期孤立波解.扩展的同宿测试法与原来的同宿测试法的主要差别在于构造不同精确解的测试函数。在这篇文章中，我们研究了一个非线性偏微分方程---长短波方程。首先，利用广田双线性法和同宿测试法，探讨了方程的同宿轨道解，最终获得了方程的双周期同宿轨解。

本文考虑如下形式的长短波方程：

u代表短波，v代表长波。

作如下变换

其中A是常数，f是实函数，g是复函数。把（2）代入（1）得到方程（1）的双线性形式：

其中c是积分常数， g*是g是共轭函数。若假设函数f，g为如下形式：

其中b3，p，α，b4，p1待定实数，b1，b2是待定复数。把（4）代入（3）得到一个多项式，再把多项式中的系数设定为零，得到一组关于b3，p，α，b4，p1，A，b1，b2的方程组：

解上述方程组得到：

结合（4）和（6），得到方程（1）的同宿解：

式（7）就是方程（1）的同宿波解，因为可以证明：

随着对非线性偏微分方程研究的深入和发展，得到了许多关于非线性偏微分方程的求解方法，在这篇论文中主要通过Hirota变换将（1+1）维非线性长短波方程化为它的双线性型形式，利用同宿测试技巧对此双线性型进行考虑，同时运用一些运算性质和技巧，得到原方程的同宿周期孤立波解，并对此解的结构进行了讨论与研究。

［1］Dai H， Lancaster P. Linear matrix equation from an inverse problem of vibration theory［J］.LinearAlgebraApp1.，1996，246：31-47.

［2］廖安平，自中治.矩阵方程的双对称最小二乘解［J］.计算数学，2002，24（1）：9-20.

李龙星（1989年10月-） 女， 硕士。汉族。云南保山人。现任职于曲靖师范学院数学与统计学院，助教。 研究方向：数学物理方程。