自润滑关节轴承接触应力分析

李英，李宝福，李如琰

（1.上海大学 机电工程与自动化学院，上海 200072；2.上海市轴承技术研究所，上海 201800）

1 概述

自润滑关节轴承是一种无需补充润滑剂的特殊形式的关节轴承，结构如图1所示，其中，Fr为径向载荷；Fa为轴向载荷；α为结构参数。轴承内外圈之间含有由自润滑材料组成的衬垫，衬垫粘贴在轴承外圈内球面，衬垫内球面与轴承内圈外球面形成配合面［1-2］。

图1 自润滑关节轴承Fig.1 Self-lubricating spherical plain bearing

自润滑关节轴承在承受径向载荷和轴向载荷时，接触面产生接触应力。接触应力是轴承设计过程中的一个重要依据，一般情况下，轴承设计时以投影面上的平均接触应力为依据［3］。而实际工况下，轴承接触应力分布并不均匀，直接影响轴承衬垫的磨损、发热量及寿命。因此，接触应力分析对轴承优化设计及了解轴承使用状况至关重要。

下文主要研究自润滑关节轴承的接触应力分布，采用理论计算和有限元分析相结合的方法，推导并验证接触应力的计算公式，为自润滑关节轴承的优化设计及力学分析提供依据。

2 自接触应力解析模型

自润滑关节轴承衬垫是一种各向异性非线性材料，力学性能复杂。为简化分析，将衬垫假设为线弹性体，又由于衬垫较薄，采用表面接触力学里的Winkler模型［4］进行接触应力分析。

在轴承模型上建立球坐标系，如图2所示。图中z轴为轴承轴线，O点为轴承外圈内球面中心、O1为内圈外球面中心。无载荷时，O与O1重合。假设 P（x，y，z）为空间内一点，其球面坐标为（r，θ，φ），其中 r为原点 O与点 P间的距离；θ为有向线段OP与z轴正向的夹角；φ为从z轴正向来看自x轴按逆时针方向转到OM所转过的角，M点为P点在xy平面上的投影。

图2 空间球坐标系Fig.2 Space spherical coordinates

无载荷时，取衬垫内球面（内圈外球面）上任一点P（r，θ，φ）及其径向上的衬垫外球面（外圈内球面）的对应点Q（R，θ，φ），其中R为原点O与点Q间的距离。经过PQ点取如图3所示的一个微元体 PP1P2P3（QQ1Q2Q3），其中面 PP1P2P3位于轴承内圈外球面，面QQ1Q2Q3位于外圈内球面，Δθ为在θ角上的微小增量，Δφ为在φ角上的微小增量。研究在载荷作用下衬垫上微元体PP1P2P3（QQ1Q2Q3）的变形及应力。

图3 微元体示意图Fig.3 Diagram of micro unit

由于衬垫变形根据弹性理论进行计算，而弹性理论具有叠加性，则轴承在同时承受径向载荷和轴向载荷时，变形也可以叠加。复合工况下，只需分别对受纯径向载荷或纯轴向载荷时的接触应力进行计算，将结果叠加即可。

2.1 径向载荷作用下的接触应力计算

轴承内圈在径向力Fr作用下，沿x轴移动ΔX，衬垫受挤压变形，衬垫上微元体面PP1P2P3以同样的方式平移至P′P′1P′2P′3，外圈内球面上微元体面QQ1Q2Q3位置不变。则可得微元体的径向变形量Δlx为

正应变ε为

根据应力-应变的关系，正应力σ（与P′Q同向）为

式中：E为衬垫材料的弹性模量。

轴承仅受径向载荷时，接触面上的摩擦力与运动方向相反，接触面上关于xz平面对称的任意两点的摩擦力在x轴方向的分力大小相等，方向相反，可以相互抵消，故在这种工况下分析衬垫变形时，不计摩擦力。径向载荷Fr与接触面上接触应力沿x方向的总和平衡，即

接触面内任意一点的接触应力为

2.2 轴向载荷作用下的接触应力计算

轴承仅受轴向载荷时，接触面上摩擦力与运动方向相反，摩擦力在z轴方向的分力相互叠加，摩擦力对轴向载荷有贡献，考虑摩擦力，设衬垫摩擦副的摩擦因数为f。轴承在轴向力Fa作用下，内圈沿z轴移动ΔZ，衬垫上微元体面PP1P2P3以同样的方式移至 P′P′1P′2P′3，位于外圈内球面上的面QQ1Q2Q3则位置不变。根据几何关系，微元体的轴向变形量Δlz为

正应变ε和剪切角γ分别为

根据应力-应变关系，正应力σ与切应力τ分别为

式中：ν为衬垫材料泊松比。σ与P′Q同向，τ方向为（0，-cosθ，sinθ）。

切应力由摩擦力提供，则必须满足τ≤fσ，即

轴承模型θ角一般为60°～120°，只有当摩擦因数f大于2时，才有可能满足τ≤fσ，而实际自润滑关节轴承摩擦因数一般小于0.1，则大多数自润滑关节轴承的切应力按胡克定律计算，即τ＝fσ。

轴向载荷Fa与接触面上接触应力沿z方向的总和平衡，即

接触面内任意一点的接触应力为

3 接触应力有限元仿真

理论公式推导过程中做了很多简化，与实际工况有较大出入，有限元计算可以把实际工况考虑进去，更接近真实值，因此利用有限元分析来验证理论公式的合理性。以GE40自润滑关节轴承为例，在ANSYS软件中建立模型，进行接触应力分析。GE40轴承材料参数见表1，几何结构如图4所示。

表1 自润滑关节轴承材料参数Tab.1 Material parameters of self-lubricating spherical plain bearing

图4 自润滑关节轴承几何结构Fig.4 Geometric structure of self-lubricating spherical plain bearing

3.1 径向载荷作用下接触应力的有限元分析

轴承仅受径向载荷时，在ANSYS中建立三维模型，采用Solid45单元进行网格划分，在轴承内圈内表面施加沿x轴正方向的径向载荷Fr，固定轴承外圈，在轴承外圈的内球面上粘接衬垫，在轴承内圈与衬垫的接触面处建立接触对，由于内圈刚度远大于衬垫刚度，接触对采用面-面刚柔接触的形式，接触面摩擦因数设置为0，与理论分析一样，进行无摩擦时的接触分析［5-8］。

通过ANSYS分析，得到接触面的接触应力分布如图5所示。提取受载接触面上节点的接触应力值，绘制θ＝0°且φ在-90°～90°上的接触应力曲线如图6所示；φ＝0°，θ在（90°-α）～（90°+α）上的接触应力曲线如图7所示；有限元结果与理论计算结果的相对误差分布如图8所示。

图5 接触应力云图（径向）Fig.5 Nephogram of contact stress（radial direction）

图6 θ＝0°时接触应力曲线（径向）Fig.6 Contact stress curve when θ＝0°（radial direction）

图7 φ＝0°时接触应力曲线（径向）Fig.7 Contact stress curve when φ＝0°（radial direction）

图8 理论计算与有限元分析相对误差（径向）Fig.8 Relative error between theoretical calculation and FEA（radial direction）

由图5可知，最大接触应力出现在受载面中心处。由图6和图7可知，除了边缘处，其他地方都非常吻合。边缘处理论计算值近似按正弦规律减小，有限元值突然大幅减小，是由于有限元分析边角处网格划分精度低，分析结果误差大。由图8可知，除了边缘处误差，轴承总体误差为5%～10%，最大误差出现在φ＝90°和φ＝-90°的边界处，理论值小于有限元值，这是由于理论分析时假设微元之间没有相互作用，而实际上是相互挤压的，横向效应会导致理论结果与有限元结果有误差。进一步分析其他型号自润滑关节轴承如GE20，GE16等发现，结构参数 α在 20°～30°时，理论接触应力计算值都能达到同样的精度，说明理论接触应力公式具有普遍性。

3.2 轴向载荷作用下接触应力的有限元分析

轴承仅受轴向载荷时，接触面上相同θ角处接触应力相等，采用轴对称模型进行分析，选用PLANE182单元进行网格划分，在轴承内圈施加沿z轴正方向的轴向载荷Fa，固定轴承外圈，在轴承外圈的内球面上粘接衬垫，在轴承内圈与衬垫的接触面处建立接触对，分别设置摩擦因数为0，0.05，0.10，依次进行有摩擦的接触分析［5-8］。

通过ANSYS分析计算，得到轴承内圈与衬垫接触处的接触应力分布。摩擦因数为0.10时，接触应力分布如图9所示，接触应力曲线如图10所示，不同摩擦因数下接触应力有限元结果与理论计算结果的相对误差曲线如图11所示。

图9 接触应力云图（轴向）Fig.9 Nephogram of contact stress（axial direction）

图10 φ＝0°时接触应力曲线（轴向）Fig.10 Contact stress curve when φ＝0°（axial direction）

图11 理论计算与有限元分析相对误差（轴向）Fig.11 Relative error between theoretical calculation and FEA（axial direction）

由图9可知，接触面最大应力出现在接触面边缘处，接触面非承载部分接触应力为0。由图10可知，与径向载荷相似，最大误差出现在轴承端面的边缘处，除此之外，两接触应力曲线基本吻合，这是由于有限元分析边缘处网格划分精度低，分析结果误差大。由图11可知，摩擦因数越小，相对误差越大，这是由于理论计算时假设τ≤fσ，而实际情况并非如此，一般来说摩擦因数越小误差会越大。轴承受轴向载荷时，接触应力与摩擦因数有直接关系，接触分析时，须考虑摩擦因数。此外，摩擦因数为0.10或0.05时，除了边缘处误差，整体误差在3%左右，因为理论分析时假设微元之间没有相互作用，而实际上是相互挤压的。进一步分析其他型号自润滑关节轴承如GE20，GE16等发现，结构参数α＝20°～30°时，也具有类似的结论，说明理论接触应力公式具有普遍性。

4 结束语

采用理论方法对自润滑关节轴承进行接触应力分析，通过有限元分析验证理论公式的精度可知，理论公式在一般的自润滑关节轴承上普遍适用。

当衬垫材料刚度远远小于内圈刚度，轴承结构参数α＝20°～30°时，利用理论公式计算轴承接触应力值，可以保证受径向载荷时接触应力值误差在10%以内，受轴向载荷时在3%左右。