挖掘意外应答为教学所用的三个视角

☉江苏省金湖县外国语学校　李　东



挖掘意外应答为教学所用的三个视角

☉江苏省金湖县外国语学校李东

苏霍姆林斯基曾说过：“教学的技巧并不在于预见课的所有细节，在于根据当时的具体判断，巧妙地在学生不知不觉中做出相应的变动.”这种教学技巧是教师永远的追求，要靠教师不断努力提高自己的数学素养慢慢养成.毋庸讳言，在教学中面对学生的各种意外应答（其中不乏正确的甚至是超越的、独特的），由于教师的业务局限，被视作不着边际、被阻断或被搪塞的现象时有发生，令人惋惜.如果教师在课后重拾那些意外，细细追问反思，自觉开展数学知识和数学教育理念、方法的补偿教育，那么教师业务水平的提升定会增速.本文基于教学案例从三个视角反思学生的意外应答，寻找与其跟进的应对之策.

一、从数学知识的逻辑联系上分析

通常再多的概念、再复杂的关系总是按照某种线索发展下来的，找准这种线索就找到了知识发生、发展的方向了.有时学生一些出人意外的想法，就处在某种线索的一个节点上，适当梳理可以为教学所用.

案例1代入消元法解二元一次方程组新授片断.

教师：请同学们解决如下问题：买甲、乙两种饮料各1瓶，共需5元；买5瓶甲饮料和1瓶乙饮料共需17元，每瓶甲饮料和每瓶乙饮料售价各是多少？

学生1：设每瓶甲饮料售价为x元，根据题意得4x= 17-5，解得x=3，5-3=2.所以每瓶甲饮料售价是3元，每瓶乙饮料售价是2元.

教师：你综合题目信息找到相等关系，很聪明！但感觉有些小学算术方法的影子，大家还有其他解法吗？

学生2：设每瓶甲饮料售价是x元，每瓶乙饮料售价是y元，那么可列方程组用上节课学的枚举法找到这个方程组的解是可知甲每瓶3元，乙每瓶2元.

教师：同学们上节课就体会到列方程组相对容易，但找它的解较麻烦，今天我们就是要寻找二元一次方程组的简便解法，不过我们还得借助一元一次方程，同学们还会列什么样的一元一次方程解决这个问题？

学生3：设甲饮料每瓶x元，那么乙饮料每瓶（5-x）元，由题意得5x+（5-x）=17.

教师：太好了，请大家观察这个一元一次方程与刚才列出的方程组，你们能发现它们之间有什么结构上的联系？请大家分组讨论，再交流.

学生4：我们看到方程②中y的位置恰好被一元一次方程中的（5-x）代替了！

教师：（紧忙追问）那么方程②中的y能用（5-x）代替吗？我们知道两者相等才能相互代换！

学生4：根据方程①移项就知道y=5-x.

教师：棒极了！这种变形代入就是解二元一次方程组的关键！

……

课后与执教教师交流得知，教者希望学生很快说出学生2和学生3那样的解法，便于引导学生对比这两种解法，从而顺利过渡到代入消元解方程组，可是学生应答并未如教者预设那样，于是教者有点着急地把学生牵上预设的轨道.当学生1的方程“横空出世”时，教者已感到其实质就是减法消元的结果，如果顺其生成进行说明，势必在代入消元尚未出现或成熟的状况下，干扰学生对代入法的学习，因此教者限定学生将列出的方程组与方程5x+（5-x）=17进行对比，因循教材设定的顺序学习新知.

可是面对这个意外，如果教者完全放手让学生讨论所列方程组与两个一元一次方程间的联系，学生应该不难发现4x=（5x+y）-（x+y），也就容易发现方程①、②两边相减就是学生1所列方程，教者若再借助图1所示关系图，会让学生体会到将二元一次方程组转化为一元一次方程有两条对等的途径.

图1

这样不仅有利于学生理解所学知识的内涵，还能够更好地揭示相关数学知识之间的关联，有利于学生从整体上理解数学，构建更丰满的数学认知结构，从而站得高看得远.

教学构想：教学中如果遭遇这样的意外生成，不妨大胆调整教学顺序，直接过渡到减法消元，再引向加法消元，不过这种“颠覆性”做法的风险是：掌握了相对容易的加减法后再学习相对烦琐的代入法，学生可能会听不进去.如果保守点，也可以适当借用这种意外生成，为课堂教学增添活力：若是新课引入阶段就揭示了两种转化方法，可以使学生对解方程组的前景有了一个宏观的指向，此时教师可以直接告诉学生，本节课重点研究通过变形代换的手段转化方程组，下节课重点研究通过方程两边相减的手段转化方程组；若是结课阶段少做一两道代入法解方程组的问题，揭示这种意外生成隐藏的另一种转化方法，会激发学生对下节课的期待，让学生想学；若是暂时秘而不宣，留到下节课引入时揭示，也能使加减法消元自然融入学生的知识建构过程.

二、从先行组织者的角度审视

奥苏伯尔提出先行组织者的教学策略是为了激活新旧知识之间的实质性联系，提高已有知识对接受知识的有效影响.［1］先行组织者给学习者在已知与未知之间架了一道桥梁，从而更有效地学习新材料，因而对于需要解决问题的迁移有着明显的促进作用.有时课堂上学生有些看似不靠谱的说法，其实正是学生自发类比已有研究问题的经验而产生的，反倒容易被学生理解和接受.

案例2圆周角概念的引入片断.

教师：刚才我们通过度量发现图2中，∠A5＞∠A1=∠A2=∠A3＞∠A4，请观察∠A1、∠A2和∠A3，它们有什么共同特征？

图2

学生1：这些角的顶点都在⊙O上.

教师：很好，还有什么共同特征？

学生2：它们的边都经过点B和点C.

教师：换句话说，就是它们的边与圆都是什么样的位置关系？

学生3：它们的边都是圆的弦.

教师：（有点急）是的，既然是弦，也就是两边都与圆相交！我们把这样的角称为圆周角（板书定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角）.

……

这里教师板书的定义沿用了现行苏科版教材中的说法，笔者曾就这种说法的合理性与同行交流过，苏科版教材中直线与圆相交的定义是在后面学习直线与圆的位置关系才出现，从逻辑顺序上看这样描述圆周角的特征值得推敲.有同行认为学生已经知道直线与直线相交的含义，自然迁移并接纳“两边与圆都相交”的说法没什么问题，可是当我们给出圆中的弦切角让学生判断该角是否为圆周角时，总有学生犹豫不断或做出错误判断，这表明有些学生对“两边与圆都相交”的认识很模糊，只是停留在“直线与圆有公共点”这个层面，面对这种窘境我们不得不向学生强调：圆周角的两边都和圆另有一个公共点！由此看来用“两边与圆都相交”描述圆周角的特征不便于学生的识记与运用.

在本案例中，学生3的说法倒是质朴的，是其已有认知经验被唤醒的结果，是什么样的经验呢？苏科版教材是结合图形将圆心角描述为“像这样顶点在圆心的角叫做圆心角”，关于圆心角的边的特征，如果教师解读为“两边都与圆相交”，这有利于学生归纳圆周角两边特征时联想并启用，可学生描述圆心角特征并非如此，笔者曾听到学生用他们自己的话描述为“两边都是半径”，“半径”是学生小学就接触到的！面对圆周角的边，学生能够联想到的恐怕就是他们熟悉的“直径”或者“弦”，由此笔者认为将“顶点在圆上并且两边都是弦的角叫做圆周角”作为圆周角的定义更符合学生的认知规律，由于“弦”隐含着“直径”这一特例，也为学生后续较快发现圆周角与圆心的位置关系埋下伏笔.

教学构想：基于上述分析，教学圆心角时，让学生谈谈对圆心角的认识后，不妨这样强调：“像这样，顶点在圆心并且两边都是半径的角叫做圆心角”，这为后续让学生概括像图2中的圆周角共同特征做了先行准备.在教学圆周角时，可以画好一个圆心角并给出新名词“圆周角”，让学生望“名”猜“形”，组织学生在已画的圆心角基础上画图研讨，这样更能调动学生的探究欲望；可以大胆换掉教材的定义，使用“顶点在圆上并且两边都是弦的角叫做圆周角”这种定义，这更加便于学生识别圆周角，此外，如果今后需要在课外数学兴趣小组活动中补充弦切角的知识，学生认识圆心角和圆周角累积的经验能够促进学生同化和顺应弦切角的概念.

三、从最近发展区关注

维果茨基认为，在确定发展与教学的可能关系时，须确立学生发展的两种水平，一是已经达到的发展水平；二是可以达到的发展水平，并且他将学生在指导下借助成人的帮助所能达到解决问题的水平与在独立活动中所达到的解决问题的水平之间的差异称之为“最近发展区”.有时课堂上学生对教师提问所作的回应恰恰说明他们已处于最近发展区，如果教师能及时捕捉、适当点拨引导，会促进学生达到新的发展水平.

案例3探索相似三角形性质的引入片断.

教师：相似三角形除具有对应角相等、对应边成比例的性质外，还具有什么性质呢？请大家猜猜.（教室里沉寂了片刻，无人应答）

教师：看样子有困难.让我们想想全等三角形除对应角相等、对应边也相等的性质外，还有什么性质？

学生1：全等三角形对应边上的高相等.

教师：（连忙追问）那由三角形的高又能联想到什么？

学生2：全等三角形对应边上的中线相等、对应角平分线也相等.

教师：（有点急促）除了这些，由三角形的高还能想到什么？在小学三角形的高有什么用处？

学生3：求面积.

教师：对，全等三角形的面积有怎样的关系呢？

学生：（齐答）相等.

教师：那猜猜相似三角形的面积有什么关系？

……

学生已经知道全等与相似间的特殊关系，这里教师希望学生从全等三角形的面积相等，猜想相似三角形的面积是否有某种特殊关系，从而顺利进入本节课的主题——探索相似三角形的面积关系及周长关系，这也是遵循苏科版教材“探索相似三角形的性质”第一课时的教学安排.教师提问后，学生竟然联想到全等三角形的高、中线和角平分线，偏离教师预设的轨道，于是教师机智而又急迫地将学生的思考“牵”到面积上，也许换个班级或者换个时间教师提出同样问题，学生的第一反应可能是想到面积，但这里偏偏出点意外，给教师添堵.

在这位教师眼里，学生想到全等三角形的面积相等应该是自然的，这在学生的已有发展区，可是“全等三角形对应边上的高相等”应该同样处于学生的已有发展区，我们回忆一下：苏科版数学七年级（下）“认识三角形”一节中，运用图形的运动变化探索过“当点D在边BC上运动时，点D可能有哪些特殊位置，对应的AD可能是哪些特殊线段”的问题，当时的探究使三角形的3种重要线段在学生头脑中留下一定的印记，到八年级（上）学习“探索三角形全等的条件”时，教材又通过例5及其拓展和延伸教学活动，证明全等三角形的对应高、中线、角平分线分别相等，这里进一步强化了学生对三角形3条重要线段的认识，因此案例中学生先想到三角形的高、中线和角平分线，应在情理之中.其实借用学生想到的三角形3条重要线段，完全可以带动学生进入最近发展区——探索相似三角形对应线段间的关系，也就是教材本节第二课时的教学内容可以前置到第一课时，而且“相似三角形对应高的比等于相似比”又为下节课探索面积比作了自然铺垫.

教学构想：基于上述思考，执教“相似三角形的性质”的预案应不拘泥于教材，应视学生的可能猜想方向而作这样的预设，即如果学生探索的方向直接指向面积，则按照教材思路施教；如果学生直接联想到三角形的高，则可调整教学顺序，顺着学生的猜想，在现实水平与发展水平之间为学生设置适当的问题链、搭建“脚手架”，助其提出猜想并验证结论.

四、结束语

随着教学实践的深入，教师会发现探寻学生意外应答为教学所用的更多途径和视角，这里笔者从“数学知识的逻辑顺序”、“先行组织者”及“最近发展区”3个视角反思教学，未免肤浅或失当，谨以此文抛砖引玉，以期我们对自己所作出的某种教学行为、决策以及由此产生的结果进行更有效的审视与分析，让我们通过提高自我觉察水平，来促进教学监控能力发展，促进自己的专业水平发展，从而促进学生的发展.

参考文献：

1.张兴中.放慢评价等待生成——初中数学“慢一拍评价”策略探究［J］.中学数学（下），2014（10）.

2.涂荣豹.数学教学认识论［M］.南京：南京师范大学出版社，2003.

3.高文.维果茨基心理发展理论的方法论取向［J］.全球教育展望，1999（3）.H