凡题大做，圈地精彩

☉福建省漳平第三中学　林福凯☉福建省漳平第三中学　朱兰英



凡题大做，圈地精彩

☉福建省漳平第三中学林福凯
☉福建省漳平第三中学朱兰英

中考试题因其典型性、导向性，备受广大师生的关注.中考试题的设计充分关注对学生思维水平与思维方式的考查.中考试题常可溯源于教材例、习题，生成、改编发展于教材例、习题，命题立意与考查功能往往高于教材、教辅例、习题.笔者将以矩形圈地面积问题为主线，串联中学数学知识，意在培养数学思维，提升凡题的功能与价值.矩形圈地面积问题常设有一个或多个思维节点，从这一点看，此类试题的解答其实就是突破思维节点的解答，重点是在思维节点处拉伸数学思维.

一、试题呈现

人教版《义务教育教科书九年级数学上册（教育部审定2013）》P57第7题：如图1，用一段长为32m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地，墙长为16m.这个矩形的长、宽各为多少时，菜地的面积最大？最大面积是多少？

试题简解如下所示.

解：如图2，设矩形菜地平行于墙的篱笆BC=xm，围成的矩形菜地面积为ym2，则依题意，得，整理得（0＜x≤16）.

图2

答：该矩形的长、宽分别为16m、8m时，菜地的面积最大，最大面积是128m2.

解题说明如下所示.

（1）利用题图，引入点标，增进直白，方便叙述，简化解题与检验.

（2）恰当设元（BC=xm），对接隐含（墙长为16m），直白检验（取舍实解）.本题也可设AB=x，则BC=32-2x，y= x（32-2x）（0＜x≤16），即y=-2（x-8）2+128（0＜x≤16）.

由于a=-2＜0，所以当且仅当x=8时，32-2x=16≤16，ymax=128.

用此设元法，所得函数为整系数解析式，直观感觉较好，但容易疏忽题干“墙长为16m”的隐含功能而致解题失误，甚至出现错误.

二、试题改编

1.严谨改编，拾级而上

原题题干存在歧义，试题不够严谨.主要体现在：涉及实际问题方面——①篱笆可否结余；②墙能否用篱笆局部替代（如图3）；③是否要考虑篱笆占地等问题.命题设计方面——问题设计一步到位，较欠层次与梯度，不利于“学困生”的思维与学习.本着命题通俗易懂、严谨简洁和面向全体等原则，遵从“让不同人得到相应发展”的课标理念，改编严谨题干，创设并列式、递进式问题串，诠释题型规律，引领试题教学.

图3

改编1：如图1，恰好用完（不许结余）一段长为32m的篱笆围成一个一边完全靠墙（不许篱笆局部替代墙）的矩形菜地，墙长为16m.设矩形菜地平行于墙的篱笆长为xm，围成的矩形菜地面积为ym2（篱笆占地忽略不计）.

（1）当x=12时，求y的值.

（2）当y=120时，求x的值.

（3）是否存在x的值，使得y=130？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由.

（4）写出y与x的函数关系式和x的取值范围.

（5）当x为何值时，y取到最大值？并求此时y的值.试题简解如下所示.

改编意图：以教材例、习题搭台，渐进问题串唱戏.命题设计，贵在精准.本题改编，严谨简练，明确目标；由浅入深，拾级而上.内容设计：从方程到函数，遵循章理；思维设计：从具体到抽象，互逆考查；能力设计：特殊转化一般，螺旋上升；情理设计：逐级积累经验，激发学习兴趣，增强解题信心，实现蓄势待发.

2.弱化条件，以退为进

（a）改墙定长为待定长，凸显待定字母功能.

改编2：如图4，恰好用完一段长为32m的篱笆围成一个一边完全靠墙的矩形菜地，墙长为am.设矩形菜地平行于墙的篱笆长为xm，围成的矩形菜地面积为ym2（篱笆占地忽略不计）.

图4

（1）当x=12时，求y的值.

（2）当y=120时，求x的值.

（3）是否存在x的值，使得y=130？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由.

（4）写出y与x的函数关系式和x的取值范围.

（5）当x为何值时，y取到最大值.并求此时y的值.试题简解如下所示.

解：（1）①当0＜a＜12且x=12时，结论（1）没有实际意义.

①当0＜a＜12时，原题无实际解.

②当12≤a＜20时，原题只有一个实际解x=12.

③当a≥20时，原题有两个实际解x=12或x=20.

①当a≥16且x=16时，ymax=128.

改编意图：通过am墙长功能的探索过程，考查数形结合、分类讨论、方程、函数等思想方法，强化解题验证意识.

（b）隐藏题图，强化建模.

改编3：删除改编2的“如图3”条件，其余均不变.解法与改编2相同（过程略）.

改编意图：通过隐藏题图，考查数学建模、抽象转化等能力，积淀深层数学活动经验.

三、试题创编

通过探索试题改编及其解答，拾级而上，积淀深层数学活动经验，利用函数统领代数的功能，关注抽象转化、构建模型、数形结合、分类讨论、运用函数等生成，考查思想与方法；利用见微知著，发散思维，进退取舍，考查思维与能力.逐级创编如下.

1.外减内添，拓展视野

（a）外，弱化题图与定墙长；内，添内含两个矩形.

创编1：某农户为养殖两种家禽，准备恰好用完一段长为32m的篱笆围成一个一边完全靠墙且內含两个矩形的矩形禽场，墙长为am.设矩形禽场平行于墙的最外层篱笆长为xm，围成的矩形禽场总面积为ym2（篱笆占地忽略不计）.

（1）写出y与x的函数关系式和x的取值范围；

（2）当x为何值时，y取到最大值？并求此时y的值.

试题简解如下所示.

图5

图6

（2）（i）由（1）①得y=-（x-8）2+64（0＜x≤a）.

由于a=-1＜0，所以：当a≥8且x=8时，ymax=64；根据二次函数的增减性，当0＜a＜8且x=a时，ymax=-（a-8）2+64.

创编意图：试题创编，意在培养数学建模，强化分类讨论意识，渗透区间函数思想；旨在巩固并发展初中阶段的比差法：利用不等式的传递性有效放缩比较大小，利用函数增减性在相同区间内取函数最值.

（b）外，弱化题图与定墙长；内，添内含三个全等矩形.

创编2：某农户为养殖三种家禽，准备恰好用完一段长为132m的篱笆围成一个一边完全靠墙且內含三个全等矩形的矩形禽场，墙长为am.设矩形禽场平行于墙的最外层篱笆长为xm，围成的矩形禽场总面积为ym2（篱笆占地忽略不计）.

（1）写出y与x的函数关系式和x的取值范围；

（2）当x为何值时，y取到最大值？并求此时y的值.

试题简解如下所示.

图7

图8

图9-1

图9-2

图10-1

图10-2

创编意图：在创编1的基础上，顺藤摸瓜，进一步培养数学建模，强化分类讨论意识，渗透区间函数思想，提升数学思维.创编2还突出考查学生的阅读理解、抽象转化、处理信息和深层运用比差法等能力.

2.内外兼修，高屋建瓴

创编形变质同试题，渗透抽象、推理和模型三大思想.

创编3：如图11，某农户为养殖两种家禽，准备恰好用完一段长为132m的篱笆围成一个两边完全靠l、l′组成的直角曲尺形墙且內含两个矩形的矩形禽场，l、l′的墙长分别为am、bm.设矩形禽场平行于墙l的最外层篱笆长为xm，围成的矩形禽场总面积为ym2（篱笆占地忽略不计）.

（1）写出y与x的函数关系式和x的取值范围；

（2）当x为何值时，y取到最大值？并求此时y的值.

创编4：如图11，某农户为养殖三种家禽，准备恰好用完一段长为132m的篱笆围成一个两边完全靠l、l′组成的直角曲尺形墙且含三个全等矩形的矩形禽场，l、l′的墙长分别为am、bm.设矩形禽场平行于墙l的外篱笆长为xm，围成的矩形禽场总面积为ym2（篱笆占地忽略不计）.

图11

（1）写出y与x的函数关系式和x的取值范围；

（2）当x为何值时，y取到最大值？并求此时y的值.

……

建瓴简析：创编3、4的题干条件“l、l′组成的直角曲尺形墙的墙长分别为am、bm”起双重制约作用，试题属于“双制约型”问题.解“双制约型”问题的思维节点是先将“双制约型”问题转化为“单制约型”问题，再探寻解题方略，最后实现解题目标.解题简析如下：先假设l′的墙长bm足够长，确定满足l的墙长am的单重制约结论，再将所得结论按l′墙长bm的又一制约进行取舍，最终实现解题目的，得出满足题意的准确结论.所以创编3、4的解答可以分别转化为创编1、2的解答（分层逐步解答）.

建瓴意图：试题创编意在发展数学思维，可忽略具体解答.案例着意诠释思维的产生、生成与生长过程：拉长思维过程，疏导思维盲点；拉伸思维触角，梳理思维变式；提升思维深度，导引思维发散［1］；案例旨在促进问题自然生成与生长，有效提升“四能”，赋予思维更大的遐想.

四、凡题大做，领悟教学

1.模型解题，可触类旁通

构建模型，类比联想，生成“类”问题，再探寻通性通法，最终促进自我完善，自我探索，自我创新等数学素养的养成.案例通过对教材习题的挖掘，逐级探索试题的生成与生长，为构建模型解题提供了思路和方略.“矩形圈地型”问题的解题步骤归纳如下：分步阅读条件（挖掘隐含条件和判断必要的分类）—逐步构建满足题意的题图（标识点标以便叙述和解题）—依据题图巧设元—理清关系列代数式—思辨题设与结论列关系式—思构解题思想、方法与策略，准确解答、验证与作答.

2.凡题大做，能拓展思维

以求同存异、异中求同的观点开展试题变式，逐级探索数学活动，诠释题型规律.在生活中通过抽象生成数学，在内容上通过推理发展数学，在方法上通过模型联系外界，在解题中通过教学提升“四能”（发现、提出、分析、解决问题的能力），在思维上渗透三大基本思想（抽象、推理和模型）.凡题大做中，逐级发散思维，有效提高分析解题能力，实现有效学习备考，养成自学、自创、自新的良好习惯.

3.试题研究，应遵循理法

试题研究，应以双基为本，回归教材，渗透考点，突出重点，适当拔高，查漏补缺，实现知识有效整合或重组；应以方法为脉，选择并划分代表性、针对性的试题开展教学，注重考点串联，掌握通法；应以思想为魂，通过积累解题经验，从特殊到一般，从特解到通解［2］，赋予试题教学无尽的遐想与思考.总之，试题研究应揭示试题本质、化归试题源泉、拓展试题功能、提升试题价值，让凡题大做引领试题研究，诠释数学思维.

参考文献：

1.戴向阳.行走在思维节点上的中考试题教学［J］.中学数学教学参考（中），2014（12）.

2.刘永东，苏德杰.谈2015年中考数学专题复习［J］.中国数学教育，2015（3）.Z